Cinématique du solide
Objet de la cinématique
La cinématique est l’étude des mouvements des solides, sans tenir compte des causes qui les provoquent.
Les grandeurs étudiées sont des déplacements, des trajectoires, des vitesses.
Hypothèses
En cinématique, les solides et les liaisons sont supposés être parfaits :
- Le solide parfait possède une masse constante et est indéformable :
La distance entre deux points quelconques du solide est invariante.
- La liaison parfaite entre deux solides est supposée sans jeu :
Il n’y a pas d’autres mouvements relatifs que ceux autorisés par la liaison.
Notion de référentiel
Pour définir un mouvement, il est nécessaire de fixer une référence d’observation.
Un mouvement est toujours relatif : on parlera de mouvement d’un solide par rapport à un référentiel.
On appelle référentiel, et on note \(\mathfrak{R}\), l’association :
- d’un repère géométrique \(\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})\),
- d’un repère temporel \(T(t_0,1s)\).
En pratique on utilise souvent un solide comme référentiel, appelé alors solide de référence : c’est le solide sur lequel on place l’observateur.
Cinématique du point
Position d’un point
La position d’un point dans l’espace est définie par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\).
Soit \(\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})\) un repère lié à \(\mathfrak{R}\).
Pour définir la position d’un point \(M\) dans ce référentiel, on utilise :
- soit les 3 coordonnées \(\color{blue}{x_M}\), \(\color{blue}{y_M}\) et \(\color{blue}{z_M}\), exprimées dans \(\mathcal{R}\).
- soit le vecteur position \(\overrightarrow{OM}\) exprimé dans la base de \(\mathcal{R}\) :
Trajectoire
La trajectoire d’un point \(M\) par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\), est l’ensemble des lieux occupés par \(M\) lorsque le temps \(t\) varie.
Cette trajectoire est souvent notée \(T(M/\mathfrak{R})\) ou \(T_{M/\mathfrak{R}}\)
Remarque : une trajectoire est une ligne (segment de droite, arc de cercle, …), ou un point si le point étudié est fixe.
Vitesse
Soit \(T(M/\mathfrak{R})\) la trajectoire d’un point \(M\) par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\).
Orientons cette trajectoire dans le sens du mouvement et définissons une unité de longueur ainsi qu’une origine \(M_0\).
Les différentes positions du point \(M\) sont repérées par leur abscisse curviligne \(s(t)\) :
\(s(t)=\widehat{M_0 M(t)}\)
Le vecteur vitesse du point \(M\) par rapport au référentiel \(\mathfrak{R}\) est défini par le vecteur :
\(\large{\overrightarrow{V_{M/\mathfrak{R}}}}\) :
- direction : tangente à la trajectoire
- sens : celui du mouvement
- norme : \(\|\overrightarrow{V_{M/\mathfrak{R}}}\|=|\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}|\)
Cinématique du solide
Repérage d’un solide dans l’espace
Pour connaitre la position de tous les points d’un solide dans l’espace (et il y en a une infinité !), il suffit de connaitre la position d’un repère lié à ce solide.
Notons \(\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})\) le repère de référence,
et \(\mathcal{R_1}(O,\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1})\) le repère lié à un solide (1)
ou repère local du solide (1).
Remarque : les points du solide (1) occupent toujours la même position dans son repère local.
Exemple : dans le cas d’une liaison pivot, on peut définir \(\mathcal{R_1}\), le repère local du solide (1), en ne dessinant qu’un seul des vecteurs de sa base, \(\vec{x_1}\), les deux autres pouvant être retrouvés facilement (voir article Bases et Repères)
Point liés
On appelle point lié à un solide, un point fixe dans le repère local de ce solide.
Pour point \(M\), lié à un solide (1), on notera : \(M\in 1\) (« point M appartenant à (1) »)
Par conséquent, on écrira :
- \(T(M\in1/\mathcal{R})\): « trajectoire du point M appartenant à (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »
ou \(T(M,1/\mathcal{R})\) : « trajectoire du point M dans le mouvement de (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »
- \(\overrightarrow{V_{M\in1/\mathcal{R}}}\) : « vitesse du point M appartenant à (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »
ou \(\overrightarrow{V_{M,1/\mathcal{R}}}\) : « vitesse du point M dans le mouvement de (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »
Attention : on ne parle jamais de « trajectoire ou de vitesse d’un solide », cela n’a aucun sens, car selon le mouvement de ce solide, ces points peuvent avoir des trajectoires et des vitesses différentes !
Paramétrage
La position du solide dans l’espace, est déterminée par 6 paramètres indépendants :
| Position du point \(O_1\) dans \(\mathcal{R}\) | → | 3 coordonnées : \(x(t)\), \(y(t)\) et \(z(t)\) |
| Orientation de la base \((\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1})\) par rapport à \((\vec{x},\vec{y},\vec{z})\) | → | 3 angles : \(\theta(t)\), \(\gamma(t)\) et \(\delta(t)\) |
Ces paramètres sont fonction du temps car la position relative des solides évolue au cours du temps.
Le nombre de paramètres nécessaires pour définir la position de deux solides en liaison est égal au nombre de degrés de liberté autorisés par leur liaison cinématique.
Exemple : 1 rotation + 1 translation → 1 paramètre de position angulaire + 1 paramètre de position linéaire.
Exemple : paramétrage entre deux solides en liaison
| Liaison | Degré(s) de liberté | Paramètre(s) de position | |
| L3-0 | Tx | \(x(t)=AC(t)\) | |
| L1-0 | Rz | \(\delta(t)=\widehat{(\vec{x},\vec{x_1})}\) |
Mouvements d’un solide
Tout comme la vitesse et la trajectoire, le mouvement est relatif à un référentiel : lorsque l’on veut décrire le mouvement d’un solide, il est fondamental de définir par rapport à quel solide ou repère de référence le mouvement a lieu.
On note « mouvement d’un solide (1) par rapport à un solide de référence (0) » : \(Mvt(1/0)\)
Attention : on ne parle jamais de « mouvement d’un point », cela n’a aucun sens !
Le mouvement d’un solide se compose de 2 mouvements élémentaires :
- Le mouvement de TRANSLATION
- Le mouvement de ROTATION
Torseur cinématique
Les deux composantes élémentaires du mouvement d’un solide peuvent être définis par deux vecteurs :
- vecteur rotation : \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{red}{\overrightarrow{\Omega_{1/0}}}}}\) , représente la composante de rotation
\(\|\color{red}{\overrightarrow{\Omega_{1/0}}}\|\) : vitesse angulaire du solide (1) [rad/s]
- vecteur vitesse d’un point \(A\) : \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{
\color{green}{\overrightarrow{V_{A\in{1/0}}}}
}}\) , représente la composante de translation
\(\|\color{green}{\overrightarrow{V_{A\in{1/0}}}}\|\) : vitesse du point A du solide (1) [m/s]
ou encore un torseur cinématique :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{
\{ \mathcal{V}(1/0) \}
=
{\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{A}}
\left\{ \begin{array}{c}
\color{red}{\overrightarrow{\Omega_{1/0}}} \\
\color{green}{\overrightarrow{V_{A\in{1/0}}}}
\end{array} \right\}
}}\)
Mouvement de translation
Le torseur cinématique pour ce type de mouvement se caractérise par un vecteur rotation nul : \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{
\{ \mathcal{V}(1/0) \}
=
{\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{A}}
\left\{ \begin{array}{c}
\color{red}{\overrightarrow{0}} \\
\color{green}{\overrightarrow{V_{A\in{1/0}}}}
\end{array} \right\}
}}\)
Remarque : toutes les trajectoires des points liés à ce solide sont des lignes parallèles (droites ou pas !).
Exemple : téléphérique/sol
Cas particulier : translation rectiligne
Remarque : toutes les trajectoires des points liés à ce solide sont des segments de droites parallèles.
Exemple : tiroir/meuble
Rotation autour d’un axe fixe
Ces 2 points définissent l’axe de rotation. Le torseur cinématique pour ce type de mouvement se caractérise par un vecteur vitesse nul \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{
pour tous les points de l’axe de rotation :
\{ \mathcal{V}(1/0) \}
=
{\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{A}}
\left\{ \begin{array}{c}
\color{red}{\overrightarrow{\Omega_{1/0}}} \\
\color{green}{\overrightarrow{0}}
\end{array} \right\}
}}\)
Remarque : toutes les trajectoires des points liés à ce solide sont des arcs de cercles de centres situés sur l’axe de rotation (concentriques dans le plan normal à l’axe).
Exemple : porte/mur
Mouvements complexes
Ils sont obtenus par combinaisons de mouvements simples (rotation et translation). Pour étudier un mouvement complexe, on le décompose en mouvements simples et on « additionne » les différents résultats.
Exemple : mouvement hélicoïdal (système vis-écrou) = 1 translation et 1 rotation conjuguées.
Liaisons, degrés de liberté et mouvements
Le mouvement relatif entre deux solides dépend de la liaison cinématique entre ces deux solides : la liaison autorise certains mouvements (et en interdit donc d’autres).
- Un mouvement est absolu s’il est défini par rapport à un repère fixe.
- Un mouvement est relatif s’il est décrit par rapport à un repère mobile.
Attention à ne pas confondre degrés de liberté, mobilité et mouvement :
Une liaison autorise des degrés de liberté entre deux solides sans que les mouvements correspondants aient effectivement lieu au sein du mécanisme complet. Un degrés de liberté qui se traduit par un mouvement possible au sein d’un mécanisme participa à une mobilité.
Exemple : étude des mouvements autorisés par les liaisons d’un mécanisme
| Liaison | Degré(s) de liberté | Mouvement(s) autorisé(s) par la liaison | |
| L3-0 | Glissière de direction \(\vec{x}\) | Tx | Translation de direction \(\vec{x}\) |
| L1-0 | Pivot d’axe \((A,\vec{z})\) | Rz | Rotation autour de l’axe \((A,\vec{z})\) |
| L2-1 | Sphérique de centre \(B\) | Rx Ry Rz | Toutes les rotations |
| L3-2 | Pivot d’axe \((C,\vec{z})\) | Rz | Rotation autour de l’axe \((C,\vec{z})\) |
| L2-0 | Aucune liaison | Rx Ry Rz Tx Ty Tz | Tous |
Trajectoires des points d’un solide
Lorsqu’un système mécanique est animé, une étude géométrique des mouvements permet de déterminer les positions particulières occupées par les différents points des solides de ce mécanisme : c’est le tracé de trajectoire.
Ce tracé nécessite au préalable la connaissance des liaisons entre les différents solides afin de pouvoir décrire leurs mouvements relatifs.
Exemple : étude des trajectoires des points dans un mécanisme
| Liaison | Mouvement autorisé par la liaison | Trajectoires |
| L3-0 | Translation de direction \(\vec{x}\) | \(T(C\in 3/0)\) : segment de droite de direction \(\vec{x}\) |
| L1-0 | Rotation autour de l’axe \((A,\vec{z})\) | \(T(B\in 1/0)\) : arc de cercle de centre \(A\) |
| L3-2 | Rotation autour de l’axe \((C,\vec{z})\) | \(T(B\in 2/3)\) : arc de cercle de centre \(C\) |
| \(T(C\in 2/3)\) : point \(C\) |