Fermeture géométrique

Détermination de la loi entrée-sortie d’un mécanisme dans le cas d’une chaîne cinématique fermée.

Exemple : mécanisme bielle-manivelle

Dans le cas d’un mécanisme bielle manivelle, on souhaite obtenir la loi \(c(t)=f\left(\theta(t)\right)\) :

Fermeture géométrique :

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)

En projection sur les axes de la base \(\left(\vec x, \vec y\right)\) :

\(\left\{
\begin{aligned}
a\;\cos \theta+b\;\cos \alpha-c&=0  & \color{grey}{/\vec x} \\
a\;\sin\theta+b\;\sin\alpha&=0  & \color{grey}{/\vec y}
\end{aligned}
\right.\)

On isole l’inconnue \(\alpha\) (que l’on ne souhaite pas déterminer !) :

\(\begin{aligned}
c(t)-a\;\cos \theta&=b\;\cos \alpha \\
-a\;\sin\theta&=b\;\sin\alpha
\end{aligned}\)

Et on élève ces deux expressions au carré puis on les additionne pour faire apparaitre \(\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha\) (car on sait que cela va faire « disparaitre » \(\alpha\) !)

\(\begin{aligned}
\left(c(t)-a\;\cos \theta\right)^2&=b^2\;\cos^2 \alpha \\
\left(a\;\sin\theta\right)^2&=b^2\;\sin^2\alpha
\end{aligned}\)

En additionnant :

\(\left(c(t)-a\;\cos \theta\right)^2+\left(a\;\sin\theta\right)^2=b^2\)

Soit :

\(\bbox[lightgrey,2px,border:2px solid black]{\large{c(t)=a\;\cos\theta+\sqrt{b^2-a^2\;\sin^2\theta}}}\)