Fonction et principe
Un engrenage est un composant mécanique dont la fonction est de transmettre une puissance mécanique de rotation en modifiant ses composantes : le plus souvent réduction de la vitesse (augmentation du couple).
Principe : cinématiquement, ils agissent par roulement sans glissement de surfaces primitives (cylindre/cylindre, cône/cône, …).
La transmission de la puissance n’est possible que si les deux surfaces ne glissent pas l’une par rapport à l’autre (on dit qu’il y a adhérence entre les deux surfaces) !
Mais pour pouvoir transmettre des efforts importants, on opte pour une transmission par obstacle : les dents.
Engrènement
Lorsque les dents de deux roues dentées sont en contact, on parle d’engrènement :
Engrenage cylindrique extérieur
Un pignon \(p\) de diamètre \(d_p\) engrène sur une roue \(r\) de diamètre \(d_r\).
Soient \(\omega_r\) et \(\omega_p\) les vitesses angulaires de la roue et du pignon par rapport au bâti 0.
Soit \(I\) le point de contact entre les cercles primitifs du pignon et de la roue.
Au point \(I\), il y a roulement sans glissement :
Définition : roulement sans glissement
Si en un point \(I\) il y a
roulement sans glissement entre deux solides \(p\) et \(r\), alors :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\overrightarrow{V_{I\in{p/r}}}=\vec0}}\)
Écrire la relation entre \(\overrightarrow{V_{I\in{p/0}}}\) et \(\overrightarrow{V_{I\in{r/0}}}\)
Écrire la relation reliant \(\|\overrightarrow{V_{I\in{p/0}}}\|\) à \(\omega_p\).
On suppose que \(\omega_p\) est positive.
Dessiner sur le schéma \(\omega_p\) et \(\overrightarrow{V_{I\in{p/0}}}\).
Écrire la relation reliant \(\|\overrightarrow{V_{I\in{r/0}}}\|\) à \(\omega_r\).
Dessiner \(\omega_r\) sur le schéma.
Que peut-on dire du signe de \(\omega_r\) ?
Donner l’expression du rapport de transmission de cet engrenage en fonction des diamètres \(d_p\) et \(d_r\) (tenir compte du signe).
Correction
On exprime le roulement sans glissement de \(p\) par rapport à \(r\) au point \(I\) par la relation :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{I\in r/0}}\|\)
Le solide \(p\) étant en rotation, la vitesse du point \(I\) s’exprime :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p/0}}\|=|\omega_{p}|\times \frac{d_p}{2}\)
Le solide \(r\) étant en rotation, la vitesse du point \(I\) s’exprime :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in r/0}}\|=|\omega_{r}|\times \frac{d_r}{2}\)
On en déduit :
|\(\omega_{p}|\times \frac{d_p}{2}=|\omega_{r}|\times \frac{d_r}{2}\)
Et le rapport de transmission (on enlève les valeurs absolues, mais on tient compte du signe : ici, inversion du sens de rotation) :
\(\bbox[5px,border:1px solid black]{k=\frac{\omega_{p}}{\omega_{r}}=-\frac{d_r}{d_p}}\)
Engrenage cylindrique intérieur
Dans ce cas ci, un pignon \(p\) de diamètre \(d_p\) engrène au point \(I\) sur une couronne \(c\) de diamètre \(d_c\).
On parle d’engrenage intérieur car le pignon se trouve à l’intérieur de la couronne.
Écrire la relation de roulement sans glissement entre \(c\) et \(p\) au point \(I\).
Écrire la relation reliant \(\|\overrightarrow{V_{I\in{p/0}}}\|\) à \(\omega_p\).
On suppose que \(\omega_p\) est positive.
Dessiner sur le schéma \(\omega_p\) et \(\overrightarrow{V_{I\in{p/0}}}\).
Écrire la relation reliant \(\|\overrightarrow{V_{I\in{c/0}}}\|\) à \(\omega_c\).
Dessiner \(\omega_c\) sur le schéma.
Que peut-on dire du signe de \(\omega_c\) ?
Donner l’expression du rapport de transmission de cet engrenage en fonction des diamètres \(d_p\) et \(d_c\) (tenir compte du signe).
Correction
On exprime le roulement sans glissement de \(p\) par rapport à \(c\) au point \(I\) par la relation :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{I\in c/0}}\|\)
Le solide \(p\) étant en rotation, la vitesse du point \(I\) s’exprime :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p/0}}\|=|\omega_{p}|\times \frac{d_p}{2}\)
Le solide \(c\) étant en rotation, la vitesse du point \(I\) s’exprime :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in c/0}}\|=|\omega_{c}|\times \frac{d_c}{2}\)
On en déduit :
|\(\omega_{p}|\times \frac{d_p}{2}=|\omega_{c}|\times \frac{d_c}{2}\)
Et le rapport de transmission (on enlève les valeurs absolues, mais on tient compte du signe : ici, pas d’inversion du sens de rotation) :
\(\bbox[5px,border:1px solid black]{k=\frac{\omega_{p}}{\omega_{c}}=\frac{d_c}{d_p}}\)
Train d’engrenages
On parle de « train d’engrenages » car ce montage comporte 2 engrenages à la suite :
- un pignon \(p_1\) engrène avec une roue \(r_1\) au point \(I\).
- un pignon \(p_2\), solidaire de la roue \(r_1\), engrène avec une roue \(r_2\) au point \(J\).
On note \(\omega_{p_1}\), \(\omega_{r_1}=\omega_{p_2}\)et \(\omega_{r_2}\), les vitesses angulaires des pignons \(p_1\), de la pièce comportant la roue \(r_1\) et le pignon \(p_2\), et de la roue \(r_2\).
Les diamètres des roues dentées sont \(d_{p_1}\), \(d_{r_1}\), \(d_{p_2}\) et \(d_{r_2}\).
En suivant la même démarche que dans les cas précédents, donner l’expression du rapport de transmission de ce train d’engrenages.
Calcul du rapport de transmission d'un train d'engrenages
Le diamètre \(D\) d’une roue dentée cylindrique est proportionnel à son nombre de dents \(Z\) :
\(\Large{D=m.Z}\)
\(m\) s’appelle le module de la denture :
on a : hauteur d’une dent \(h\approx 2,5m\)
Le rapport de transmission d’un train d’engrenages est donné par la relation :
\(\Large{r=\frac{\omega_s}{\omega_e}=(-1)^n\frac{\prod Z_{\text{roues menantes}}}{\prod Z_{\text{roues menées}}}}\)
avec : \(n\) = nombre d’engrenages « extérieurs »
Train d’engrenages épicycloïdal
Ce type de « train d’engrenages » comporte également 2 engrenages :
- le planétaire intérieur \(p_i\) engrène avec le satellite \(s\) au point \(I\)
- le planétaire extérieur \(p_e\) engrène avec le satellite \(s\) au point \(J\)
Le porte satellites \(p_s\) est guidé en rotation par rapport au bâti \(0\) et guide en rotation le satellite \(s\) autour d’un axe excentré (passant par le point \(P\)).
Les diamètres des 3 roues dentées sont \(d_e\), \(d_i\) et \(d_s\).
Remarque : ce train d’engrenages est dit « épicycloïdal » car la trajectoire \(T_{I\in ps/p_i}\) est une épicycloïde.
Ce train a la particularité d’avoir 2 degrés de mobilité, c’est-à-dire qu’il associe 3 arbres (liés à \(p_e\), \(p_i\) et \(ps\)) ayant des vitesses de rotation (\(\omega_e\), \(\omega_i\) et \(\omega_{ps}\)) différentes avec une seule relation mathématique : il faut connaître les vitesses de 2 des arbres pour connaître celle du 3ème.
Nous envisageons 3 cas particuliers :
Cas où \(\omega_{ps}=0\)
Exprimer le rapport de transmission \(k_1=\frac{\omega_{e}}{\omega_{i}}\) du réducteur dans cette configuration.
Aide
Il est toujours bon, en guise d’appui au raisonnement, de faire une figure où représenter les différentes vitesses (linéaires et angulaires) dans le cas particulier traité :
Correction
On part du mouvement de \(p_i\) par rapport à \(0\) : une rotation de centre \(O\) :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p_i/0}}\|=\omega_{i}\times \frac{d_i}{2}\) (triangle vert sur la figure)
On exprime le roulement sans glissement de \(p_i\) par rapport à \(s\) au point \(I\) par la relation :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p_i/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{I\in s/0}}\|\)
On exprime à présent le mouvement de \(s\) par rapport à \(0\) par les 2 relations impliquant les vitesses de ses points :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in s/0}}\|=\omega_{s}\times \frac{d_s}{2}=\|\overrightarrow{V_{J\in s/0}}\|\) (triangles rouges sur la figure)
Puis le roulement sans glissement de \(p_e\) par rapport à \(s\) au point \(J\) par la relation :
\(\|\overrightarrow{V_{J\in p_e/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{J\in s/0}}\|\)
Et enfin le mouvement de \(p_e\) par rapport à \(0\) :
\(\|\overrightarrow{V_{J\in p_e/0}}\|=\omega_{e}\times \frac{d_e}{2}\) (triangle bleu sur la figure)
En regroupant les équations précédentes (en partant de la fin) :
\(\omega_{e}\times \frac{d_e}{2}=\|\overrightarrow{V_{J\in s/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{J\in s/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{I\in p_i/0}}\|=\omega_{i}\times \frac{d_i}{2}\)
Par conséquent :
\(\omega_{e}\times \frac{d_e}{2}=\omega_{i}\times \frac{d_i}{2}\)
\(\bbox[5px,border:1px solid black]{k_1=\frac{\omega_{e}}{\omega_{i}}=\frac{d_i}{d_e}}\)
Cas où \(\omega_e=0\)
Le point \(J\), en tant que point de contact entre \(s\) et \(p_e\), n’est pas fixe par rapport à 0.
Par conséquent, \(s\) n’est pas animé d’un mouvement de rotation « classique ». Dans ce cas, on dit que \(s\) est en rotation instantanée autour du point \(J\). La relation entre \(\omega_s\) et les vitesses des points de \(s\) par rapport à 0 sont toujours valables.
Exprimer le rapport de transmission \(k_2=\frac{\omega_{ps}}{\omega_{i}}\) du réducteur dans cette configuration.
Aide
Il est toujours bon, en guise d’appui au raisonnement, de faire une figure où représenter les différentes vitesses (linéaires et angulaires) dans le cas particulier traité :
Correction
On part du mouvement de \(p_i\) par rapport à \(0\) : une rotation de centre \(O\) :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p_i/0}}\|=\omega_{i}\times \frac{d_i}{2}\) (triangle vert sur la figure)
On exprime le roulement sans glissement de \(p_i\) par rapport à \(s\) au point \(I\) par la relation :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in p_i/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{I\in s/0}}\|\)
Puis le roulement sans glissement de \(p_e\) par rapport à \(s\) au point \(J\) par la relation :
\(\|\overrightarrow{V_{J\in p_e/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{J\in s/0}}\|=\vec0\) (car \(p_e\) est fixe)
On exprime à présent le mouvement de \(s\) par rapport à \(0\) par les 2 relations impliquant les vitesses de ses points :
\(\|\overrightarrow{V_{I\in s/0}}\|=\omega_{s}\times d_s\)
\(\|\overrightarrow{V_{P\in s/0}}\|=\omega_{s}\times \frac{d_s}{2}\) (triangle rouges sur la figure)
Le point \(P\) étant au centre de la liaison pivot entre \(ps\) et \(s\) :
\(\|\overrightarrow{V_{P\in ps/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{P\in s/0}}\|\)
Et enfin le mouvement de \(ps\) par rapport à \(0\) :
\(\|\overrightarrow{V_{P\in s/0}}\|=\omega_{ps}\times OP\) (triangle bleu sur la figure)
avec \(OP=\frac{d_i+d_s}{2}\)
en remarquant que \(d_e=2d_s+d_i\) : \(OP=\frac{d_i+d_e}{4}\)
En regroupant les équations précédentes (en partant de la fin) :
\(\omega_{ps}\times \frac{d_i+d_e}{4}=\|\overrightarrow{V_{P\in ps/0}}\|=\|\overrightarrow{V_{P\in s/0}}\|=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{V_{I\in s/0}}\|=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{V_{I\in p_i/0}}\|=\frac{1}{2}\omega_{i}\times \frac{d_i}{2}\)
Par conséquent :
\(\omega_{ps}\times \frac{d_i+d_e}{4}=\frac{1}{2}\omega_{i}\times \frac{d_i}{2}\)
\(\bbox[5px,border:1px solid black]{k_2=\frac{\omega_{ps}}{\omega_{i}}=\frac{d_i}{d_i+d_e}}\)
Cas où \(\omega_i=0\)
Exprimer le rapport de transmission \(k_=\frac{\omega_{e}}{\omega_{ps}}\) du réducteur dans cette configuration.
Aide
Il est toujours bon, en guise d’appui au raisonnement, de faire une figure où représenter les différentes vitesses (linéaires et angulaires) dans le cas particulier traité :
Application : réducteur d’un motoréducteur
De nombreux motoréducteurs sont dotés d’un réducteur de type épicycloïdal.
Données :
- Vitesse du moteur : \(N_m=6080\;\text{tr/min}\)
- Nombre de dents :
- Couronne : \(Z_c = 45\)
- Satellites : \(Z_s = 14\)
- Planétaire : \(Z_p = 17\)
Identifier le cas d’utilisation de ce réducteur épicycloïdal (autrement dit : quel composant possède une vitesse nulle)
Définir puis calculer le rapport de transmission du réducteur.
Calculer la vitesse à la sortie du motoréducteur.
Correction
On se trouve ici dans le cas 2 où \(\omega_e=0\) :
\(k=\frac{\omega_{ps}}{\omega_{i}}=\frac{N_s}{N_m}=\frac{Z_p}{Z_p+Z_ce}=\frac{17}{17+45}=0,274\)
