Pont de Wheatstone
Un pont de Wheatstone est un instrument de mesure inventé par Samuel Hunter Christie en 1833, puis amélioré et popularisé par Charles Wheatstone en 1843.
Il est utilisé pour mesurer de faibles variations de résistance électrique, et réalisant une conversion :
variation de résistance ↔ tension électrique
Les variations sont très faibles, mais il est beaucoup facile d’amplifier une tension qu’une différence de résistance.
Le pont est alimenté avec une tension constante \(V_0\).
Lorsque que ses résistances vérifient l’égalité \(R_1\;R_3=R_2\;R_4\), le pont est à l’équilibre : \(V_s=0\)
Les variations des résistances \(\Delta R_i\) qui le composent entraînent l’apparition d’une tension \(V_s\) à sa sortie. On dit que le pont est alors déséquilibré.
Si on pose: \(R_i=R+\Delta R_i\)
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{V_s\approx \frac{V_0}{4R}\left({\Delta R_1-\Delta R_4+\Delta R_3-\Delta R_2}\right)}}\)
Loi des nœuds :
\(I=I_1+I_2\)
Lois des mailles :
\(V_0=I_1\left(R_1+R_2\right)\)
\(V_0=I_4\left(R_3+R_4\right)\)
\(V_{s}=R_1I_1-R_4I_4\)
Résolution :
\(I_1=\frac{V_0}{R_1+R_2}\)
\(I_4=\frac{V_0}{R_3+R_4}\)
\(V_{s}=R_1\frac{V_0}{R_1+R_2}-R_4\frac{V_0}{R_3+R_4}\)
\(V_{s}=V_0\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}-\frac{R_4}{R_3+R_4}\right)\)
\(V_{s}=V_0\left(\frac{R+\Delta R_1}{2R+\Delta R_1+\Delta R_2}-\frac{R+\Delta R_4}{2R+\Delta R_3+\Delta R_4}\right)\)
\(V_{s}=V_0\left(\frac{(R+\Delta R_1)(2R+\Delta R_3+\Delta R_4)-(R+\Delta R_4)(2R+\Delta R_1+\Delta R_2)}{(2R+\Delta R_1+\Delta R_2)(2R+\Delta R_3+\Delta R_4)}\right)\)
\(V_{s}=V_0\left(\frac{2R^2+2R\Delta R_1+R\Delta R_3+\Delta R_1\Delta R_3+R\Delta R_4+\Delta R_1\Delta R_4-2R^2-2R\Delta R_4-R\Delta R_1-\Delta R_4\Delta R_1-R\Delta R_2-\Delta R_4\Delta R_2}{4R^2+2R\Delta R_1+2R\Delta R_2+2R\Delta R_3+2R\Delta R_4+\Delta R_1\Delta R_3+\Delta R_1\Delta R_4+\Delta R_2\Delta R_3+\Delta R_2\Delta R_4}\right)\)
\(V_{s}=V_0\left(\frac{R\Delta R_1+R\Delta R_3+\Delta R_1\Delta R_3+\Delta R_1\Delta R_4-R\Delta R_4-\Delta R_4\Delta R_1-R\Delta R_2-\Delta R_4\Delta R_2}{4R^2+2R\Delta R_1+2R\Delta R_2+2R\Delta R_3+2R\Delta R_4+\Delta R_1\Delta R_3+\Delta R_1\Delta R_4+\Delta R_2\Delta R_3+\Delta R_2\Delta R_4}\right)\)
On peut négliger les termes en \(\Delta R_i\Delta R_j\) et en en \(\Delta R_i\)devant ceux en \(R\) car \(\Delta R_i\ll R\) :
\(V_{s}\approx V_0\left(\frac{R\Delta R_1+R\Delta R_3-R\Delta R_4-R\Delta R_2}{4R^2}\right)\)
\(V_{s}\approx V_0\left(\frac{R\left(\Delta R_1+\Delta R_3-\Delta R_4-\Delta R_2\right)}{4R^2}\right)\)
\(V_{s}\approx V_0\left(\frac{\Delta R_1+\Delta R_3-\Delta R_4-\Delta R_2}{4R}\right)\)