Les vecteurs
Un scalaire, ou élément de l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\), ne porte qu’une seule information de grandeur physique : température, longueur, pression, …
Un vecteur porte un nombre d’informations égal à la dimension de l’espace vectoriel auquel il appartient (c’est à dire trois pour la physique traitée ici). Ceci justifie son nom : c’est un vecteur d’informations.
Soient :
- \(\mathcal{E}\) un espace vectoriel,
- 3 vecteurs \(\left(\vec a,\vec b,\vec c\right) \in \mathcal{E}^3\),
- 2 scalaires réels \(\left(\alpha, \beta\right)\in \mathbb{R}\).
Notations et vocabulaire
Un vecteur, c’est :
- un point d’application
- une direction (une droite « support »)
- un sens (+ ou – sur l’axe défini par la droite « support)
- une norme : dans l’unité de la grandeur physique étudiée
Écriture vectorielle
Vectoriellement, la direction est donnés par un vecteur directeur \(\vec u\) et le sens par un signe. On peut écrire :
\(\Large{\vec V= \color{#0F0}{\pm}\;\color{orange}{V}\;\color{blue}{\vec u}}\)
Écriture cartésienne
Dans une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\), on peut exprimer un vecteur \(\vec V\) de différentes manières :
- par ses composantes :
\(\large{\vec V=x_\sm{V}\vec x+y_\sm{V}\vec y+z_\sm{V}\vec z}\)
- par ses coordonnées :
\(\large{\vec V=\begin{pmatrix}x_\sm{V}\\y_\sm{V}\\z_\sm{V}\end{pmatrix}_b}\)
Remarque : pour écrire un vecteur « en colonne », il faut impérativement préciser la base dans laquelle ses coordonnées sont exprimées.
Vecteur position
Soient \(O\) et \(M\) deux points de \(\mathcal{E}\).
Soient \(x_\sm{M}\), \(y_\sm{M}\) et \(z_\sm{M}\) les coordonnées de \(M\) dans le repère \(R\left(O, \vec x, \vec y, \vec z\right)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) peut être écrit comme la somme de ses composantes dans \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\)
\(\large{\overrightarrow{OM}=x_\sm{M}\;\vec x+y_\sm{M}\;\vec y+z_\sm{M}\;\vec z}\)
ou bien en utilisant ses coordonnées dans \(b\) :
\(\large{\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}x_\sm{M}\\y_\sm{M}\\z_\sm{M}\end{pmatrix}_b}\)
Vue 3D du vecteur position (faites tourner et déplacez le point \(M\) !)
Opérations
Addition vectorielle
- symbole : \(+\)
- élément neutre : \(\vec 0\)
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}x_a+x_b\\y_a+y_b\\z_a+z_b\end{pmatrix}_b}\)
Propriétés
- commutatif : \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)
- associatif : \(\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)\)
Vue dynamique de l’addition vectorielle (déplacez les points)
Multiplication d’un vecteur par un scalaire
- symbole : \(\times\) ou rien (pas de point !)
- élément neutre : 1
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\alpha\vec a=\begin{pmatrix}\alpha x_a\\\alpha y_a\\\alpha z_a\end{pmatrix}_b}\)
Propriétés
- \(\alpha\vec a \parallelsum \vec a\)
- \(\alpha\left(\vec a+\vec b\right)=\alpha\vec a+\alpha\vec b\)
- \(\left(\alpha+m\right)\vec a=\alpha\vec a+m\vec a\)
Vue dynamique du produit vecteur par scalaire (déplacez les points et le curseur !)
Produit scalaire
C’est le produit entre deux vecteurs qui donne un scalaire (= un nombre).
\(\large{\vec a\cdot\vec b=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\cos\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)}\)
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\vec a\cdot\vec b=x_a\;x_b+y_a\;y_b+z_a\;z_b}\)
Propriétés
- \(\vec a\bot\vec b\Leftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\)
- \(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\) (commutatif)
- \(k\vec a\cdot m\vec b=km\left(\vec a\cdot\vec b\right)\)
Vue dynamique du produit scalaire (déplacez les points !)
Produit vectoriel
C’est le produit entre deux vecteurs qui donne un autre vecteur.
\(\large{\vec a\wedge\vec b}\) est normal au plan \(\large{\left(\vec a,\vec b\right)}\)
\(\large{\left\|\vec a\wedge\vec b\right\|=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\sin\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)}\)
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\vec a\wedge\vec b=\begin{pmatrix}x_a\\y_a\\z_a\end{pmatrix}_b\wedge\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}_b=\begin{pmatrix}y_az_b-z_ay_b\\z_ax_b-x_az_b\\x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix}_b}\)
Propriétés
- \(\vec a\parallelsum\vec b\Leftrightarrow\vec a\wedge\vec b=\vec 0\)
- \(\vec a\wedge\vec b=-\vec b\wedge\vec a\) (non commutatif)
- \(k\vec a\wedge m\vec b=km\left(\vec a\wedge\vec b\right)\)
- \(\left(\vec a\wedge\vec b\right)\wedge\vec c=\vec a\wedge\left(\vec b\wedge\vec c\right)\) (non associatif)
Vue 3D du produit vectoriel (faites tourner et déplacez les points !)
Pour une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\) orthonormée directe, on a les relations :
- \(\vec x\wedge\vec y=\vec z\)
- \(\vec y\wedge\vec z=\vec x\)
- \(\vec z\wedge\vec x=\vec y\)
Formule du double produit vectoriel
Soient 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec B\) et \(\vec c\) \(\vec a\wedge\left(\vec b\wedge\vec c\right)=\left(\vec a\cdot\vec c\right)\vec b-\left(\vec a\cdot\vec b\right)\vec c\)
Produit mixte
Soient 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec b\) et \(\vec c\) \(\vec a\cdot\left(\vec b\wedge\vec c\right)=\vec b\cdot\left(\vec c\wedge\vec a\right)=\vec c\cdot\left(\vec a\wedge\vec b\right)\)
(Il est inchangé par permutation circulaire des 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec b\) et \(\vec c\))