Les vecteurs

\(\newcommand{\parallelsum}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}}\) \(\newcommand{\sm}[1]{{\scriptscriptstyle#1}}\)

 

Un scalaire, ou élément de l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\), ne porte qu’une seule information de grandeur physique : température, longueur, pression,

Un vecteur porte un nombre d’informations égal à la dimension de l’espace vectoriel auquel il appartient (c’est à dire trois pour la physique traitée ici). Ceci justifie son nom : c’est un vecteur d’informations.

 

Soient :

  • \(\mathcal{E}\) un espace vectoriel,
  • 3 vecteurs \(\left(\vec a,\vec b,\vec c\right) \in \mathcal{E}^3\),
  • 2 scalaires réels \(\left(\alpha, \beta\right)\in \mathbb{R}\).

 

Notations et vocabulaire

Un vecteur, c’est :

  • un point d’application
  • une direction (une droite « support »)
  • un sens (+ ou – sur l’axe défini par la droite « support)
  • une norme : dans l’unité de la grandeur physique étudiée

Écriture vectorielle

Vectoriellement, la direction est donnés par un vecteur directeur \(\vec u\) et le sens par un signe. On  peut écrire :

\(\Large{\vec V= \color{#0F0}{\pm}\;\color{orange}{V}\;\color{blue}{\vec u}}\)

Écriture cartésienne

Dans une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\), on peut exprimer un vecteur \(\vec V\) de différentes manières :

  • par ses composantes :

\(\large{\vec V=x_\sm{V}\vec x+y_\sm{V}\vec y+z_\sm{V}\vec z}\)

  • par ses coordonnées :

\(\large{\vec V=\begin{pmatrix}x_\sm{V}\\y_\sm{V}\\z_\sm{V}\end{pmatrix}_b}\)

Remarque : pour écrire un vecteur « en colonne », il faut impérativement préciser la base dans laquelle ses coordonnées sont exprimées.

 

 

Vecteur position

Soient \(O\) et \(M\) deux points de \(\mathcal{E}\).

Soient \(x_\sm{M}\), \(y_\sm{M}\) et \(z_\sm{M}\) les coordonnées de \(M\) dans le repère \(R\left(O, \vec x, \vec y, \vec z\right)\).

Le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) peut être écrit comme la somme de ses composantes dans \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\)

\(\large{\overrightarrow{OM}=x_\sm{M}\;\vec x+y_\sm{M}\;\vec y+z_\sm{M}\;\vec z}\)

ou bien en utilisant ses coordonnées dans \(b\) :

\(\large{\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}x_\sm{M}\\y_\sm{M}\\z_\sm{M}\end{pmatrix}_b}\)

Vue 3D du vecteur position (faites tourner et déplacez le point \(M\) !)


Opérations

Addition vectorielle

  • symbole : \(+\)
  • élément neutre : \(\vec 0\)

Calculs en composantes cartésiennes

\(\large{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}x_a+x_b\\y_a+y_b\\z_a+z_b\end{pmatrix}_b}\)

Propriétés

  • commutatif : \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)
  • associatif : \(\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)\)

Vue dynamique de l’addition vectorielle (déplacez les points)­

 

Multiplication d’un vecteur par un scalaire

  • symbole : \(\times\) ou rien (pas de point !)
  • élément neutre : 1

Calculs en composantes cartésiennes

\(\large{\alpha\vec a=\begin{pmatrix}\alpha x_a\\\alpha y_a\\\alpha z_a\end{pmatrix}_b}\)

Propriétés

  • \(\alpha\vec a \parallelsum \vec a\)
  • \(\alpha\left(\vec a+\vec b\right)=\alpha\vec a+\alpha\vec b\)
  • \(\left(\alpha+m\right)\vec a=\alpha\vec a+m\vec a\)

 

Vue dynamique du produit vecteur par scalaire (déplacez les points et le curseur !)­

 

Produit scalaire

C’est le produit entre deux vecteurs qui donne un scalaire (= un nombre).

\(\large{\vec a\cdot\vec b=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\cos\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)}\)

Calculs en composantes cartésiennes

\(\large{\vec a\cdot\vec b=x_a\;x_b+y_a\;y_b+z_a\;z_b}\)

Propriétés

  • \(\vec a\bot\vec b\Leftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\)
  • \(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\) (commutatif)
  • \(k\vec a\cdot m\vec b=km\left(\vec a\cdot\vec b\right)\)

Vue dynamique du produit scalaire (déplacez les points !)

 

Produit vectoriel

C’est le produit entre deux vecteurs qui donne un autre vecteur.

­\(\large{\vec a\wedge\vec b}\) est normal au plan \(\large{\left(\vec a,\vec b\right)}\)

\(\large{\left\|\vec a\wedge\vec b\right\|=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\sin\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)}\)

Calculs en composantes cartésiennes

\(\large{\vec a\wedge\vec b=\begin{pmatrix}x_a\\y_a\\z_a\end{pmatrix}_b\wedge\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}_b=\begin{pmatrix}y_az_b-z_ay_b\\z_ax_b-x_az_b\\x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix}_b}\)

Propriétés

  • \(\vec a\parallelsum\vec b\Leftrightarrow\vec a\wedge\vec b=\vec 0\)
  • \(\vec a\wedge\vec b=-\vec b\wedge\vec a\) (non commutatif)
  • \(k\vec a\wedge m\vec b=km\left(\vec a\wedge\vec b\right)\)
  • \(\left(\vec a\wedge\vec b\right)\wedge\vec c=\vec a\wedge\left(\vec b\wedge\vec c\right)\) (non associatif)

 

Vue 3D du produit vectoriel (faites tourner et déplacez les points !)
­

 

Pour une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\) orthonormée directe, on a les relations :

  • \(\vec x\wedge\vec y=\vec z\)
  • \(\vec y\wedge\vec z=\vec x\)
  • \(\vec z\wedge\vec x=\vec y\)

 

 

Formule du double produit vectoriel

Soient 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec B\) et \(\vec c\) \(\vec a\wedge\left(\vec b\wedge\vec c\right)=\left(\vec a\cdot\vec c\right)\vec b-\left(\vec a\cdot\vec b\right)\vec c\)

 

Produit mixte

Soient 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec b\) et \(\vec c\) \(\vec a\cdot\left(\vec b\wedge\vec c\right)=\vec b\cdot\left(\vec c\wedge\vec a\right)=\vec c\cdot\left(\vec a\wedge\vec b\right)\)

(Il est inchangé par permutation circulaire des 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec b\) et \(\vec c\))

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