Les vecteurs
Un scalaire, ou élément de l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\), ne porte qu’une seule information de grandeur physique : température, longueur, pression, …
Un vecteur porte un nombre d’informations égal à la dimension de l’espace vectoriel auquel il appartient (c’est à dire trois pour la physique traitée ici). Ceci justifie son nom : c’est un vecteur d’informations.
Soient :
- \(\mathcal{E}\) un espace vectoriel,
- 3 vecteurs \(\left(\vec a,\vec b,\vec c\right) \in \mathcal{E}^3\),
- 2 scalaires réels \(\left(\alpha, \beta\right)\in \mathbb{R}\).
Notations et vocabulaire
Un vecteur, c’est :
- un point d’application (pour les vecteurs forces et vitesse par exemple)
- une direction (une droite orientée)
- un sens (+ ou – sur l’axe défini par la droite orientée)
- une norme : une valeur positive, dans l’unité de la grandeur physique étudiée
Écriture vectorielle
Vectoriellement, la direction est donnée par un vecteur directeur \(\vec u\) et le sens par un signe. On peut écrire :
\(\Large{\vec V= \color{#0F0}{\pm}\;\color{orange}{V}\;\color{blue}{\vec u}}\)
Écriture cartésienne
Dans une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\), on peut exprimer un vecteur \(\vec V\) de différentes manières :
- par ses composantes :
\(\large{\vec V=x_\sm{V}\vec x+y_\sm{V}\vec y+z_\sm{V}\vec z}\)
- par ses coordonnées :
\(\large{\vec V=\begin{pmatrix}x_\sm{V}\\y_\sm{V}\\z_\sm{V}\end{pmatrix}_b}\)
Remarque : pour écrire un vecteur « en colonne », il faut impérativement préciser la base dans laquelle ses coordonnées sont exprimées.
Vecteur position
Soient \(O\) et \(M\) deux points de \(\mathcal{E}\).
Soient \(x_\sm{M}\), \(y_\sm{M}\) et \(z_\sm{M}\) les coordonnées de \(M\) dans le repère \(R\left(O, \vec x, \vec y, \vec z\right)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) peut être écrit comme la somme de ses composantes dans \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\)
\(\large{\overrightarrow{OM}=x_\sm{M}\;\vec x+y_\sm{M}\;\vec y+z_\sm{M}\;\vec z}\)
ou bien en utilisant ses coordonnées dans \(b\) :
\(\large{\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}x_\sm{M}\\y_\sm{M}\\z_\sm{M}\end{pmatrix}_b}\)
Vue 3D du vecteur position (faites tourner et déplacez le point \(M\) !)
Opérations
Addition vectorielle
- symbole : \(+\)
- élément neutre : \(\vec 0\)
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}x_a+x_b\\y_a+y_b\\z_a+z_b\end{pmatrix}_b}\)
Propriétés
- commutatif : \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)
- associatif : \(\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)\)
Vue dynamique de l’addition vectorielle (déplacez les points)
Multiplication d’un vecteur par un scalaire
- symbole : \(\times\) ou rien (pas de point !)
- élément neutre : 1
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\alpha\vec a=\begin{pmatrix}\alpha x_a\\\alpha y_a\\\alpha z_a\end{pmatrix}_b}\)
Propriétés
- \(\alpha\vec a \parallelsum \vec a\)
- \(\alpha\left(\vec a+\vec b\right)=\alpha\vec a+\alpha\vec b\)
- \(\left(\alpha+m\right)\vec a=\alpha\vec a+m\vec a\)
Vue dynamique du produit vecteur par scalaire (déplacez les points et le curseur !)
Produit scalaire
C’est le produit entre deux vecteurs qui donne un scalaire (= un nombre).
\(\large{\vec a\cdot\vec b=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\cos\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)}\)
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\vec a\cdot\vec b=x_a\;x_b+y_a\;y_b+z_a\;z_b}\)
Propriétés
- \(\vec a\bot\vec b\Leftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\)
- \(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\) (commutatif)
- \(k\vec a\cdot m\vec b=km\left(\vec a\cdot\vec b\right)\)
Vue dynamique du produit scalaire (déplacez les points !)
Produit vectoriel
C’est le produit entre deux vecteurs qui donne un autre vecteur.
\(\large{\vec a\wedge\vec b}\) est normal au plan \(\large{\left(\vec a,\vec b\right)}\)
\(\large{\left\|\vec a\wedge\vec b\right\|=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\sin\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)}\)
Calculs en composantes cartésiennes
\(\large{\vec a\wedge\vec b=\begin{pmatrix}x_a\\y_a\\z_a\end{pmatrix}_b\wedge\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}_b=\begin{pmatrix}y_az_b-z_ay_b\\z_ax_b-x_az_b\\x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix}_b}\)
Propriétés
- \(\vec a\parallelsum\vec b\Leftrightarrow\vec a\wedge\vec b=\vec 0\)
- \(\vec a\wedge\vec b=-\vec b\wedge\vec a\) (non commutatif)
- \(k\vec a\wedge m\vec b=km\left(\vec a\wedge\vec b\right)\)
- \(\left(\vec a\wedge\vec b\right)\wedge\vec c=\vec a\wedge\left(\vec b\wedge\vec c\right)\) (non associatif)
Vue 3D du produit vectoriel (faites tourner et déplacez les points !)
Pour une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\) orthonormée directe, on a les relations :
- \(\vec x\wedge\vec y=\vec z\)
- \(\vec y\wedge\vec z=\vec x\)
- \(\vec z\wedge\vec x=\vec y\)
Formule du double produit vectoriel
Soient 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec B\) et \(\vec c\) :
\(\vec a\wedge\left(\vec b\wedge\vec c\right)=\left(\vec a\cdot\vec c\right)\vec b-\left(\vec a\cdot\vec b\right)\vec c\)
Produit mixte
Soient 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec b\) et \(\vec c\) :
\(\vec a\cdot\left(\vec b\wedge\vec c\right)=\vec b\cdot\left(\vec c\wedge\vec a\right)=\vec c\cdot\left(\vec a\wedge\vec b\right)\)
(Il est inchangé par permutation circulaire des 3 vecteurs \(\vec a\), \(\vec b\) et \(\vec c\))