Principes Fondamentaux de la Mécanique

Définitions

Référentiel absolu : référentiel fixe par rapport à l’univers : il n’en existe pas !

Référentiel Galiléen : tout référentiel fixe ou en translation rectiligne uniforme (à vitesse constante) par rapport à un référentiel absolu. On le notera \(\mathcal{R}_g\).

Dans les cas que l’on traitera, les référentiels liés à la Terre  seront considérés comme Galiléens.

 


Principe Fondamental de la Dynamique

Il existe au moins un référentiel \(\mathcal{R}_g\), appelé référentiel Galiléen, dans lequel l’ensemble des actions mécaniques extérieures à un ensemble matériel \(S\), est égal à la quantité de masse soumise à une variation de mouvement de \(S\) par rapport à \(\mathcal{R}_g\).

torseur des actions mécaniques
extérieures à \(S\)
= torseur dynamique
de \(S\) par rapport à \(\mathcal{R}_g\)
\(\Large{\{\mathcal{T}_{\bar S\rightarrow S}\}}\) = \(\Large{\{\mathcal{D}_{S/\mathcal{R}_g}\}}\)

Cas du mouvement de translation

Théorème de la résultante dynamique

Soit un système matériel \(S\), de masse \(m\) et de centre de gravité \(G\), en mouvement de translation rectiligne dans un référentiel Galiléen \(\mathcal{R}_g\).

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{R_{\bar S\rightarrow S}}=m\overrightarrow{\Gamma_{G/\mathcal{R}_g}}}}\)

Exemple :

L’ensemble des actions mécaniques exercées sur \(S\) s’écrivent :

\(\overrightarrow{R_{\bar S\rightarrow S}}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{N_{1(sol\rightarrow S)}}+\overrightarrow{N_{2(sol\rightarrow S)}}+\overrightarrow{T_{2(sol\rightarrow S)}}\)

TRD, en projection sur l’axe horizontal :

\(\overrightarrow{T_{2(sol\rightarrow S)}}=m\overrightarrow{\Gamma_{G/\mathcal{R}_g}}\)

La force de traction des roues \(\overrightarrow{T_{2(sol\rightarrow S)}}\) est de même sens que l’accélération \(\overrightarrow{\Gamma_{G/\mathcal{R}_g}}\) qu’elle provoque.

 

Cas du mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Moment d’inertie

Lequel de ces mouvements est le plus difficile à créer ?

Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe \(\Delta\) , la quantité de masse d’un système matériel \(S\) en en mouvement ne dépend pas que de sa masse, mais aussi de sa répartition.

Cette répartition est caractérisée par le moment d’inertie de \(S\) autour de l’axe \(\Delta\) , noté \(J_{\Delta}\) [kg.m²].

 

 

 

 

 

 

 

 

Moments d'inertie des principaux volumes simples
Cylindre Tube Parallélépipède Sphère Tige
\(J_{Gx}=J_{Gy}=\frac{mR^2}{4}\frac{ml^2}{12}\) \(J_{Gz}=\frac{mR^2}{2}\) \(J_{Gx}=J_{Gy}=\frac{m\left(R^2+r^2\right)}{4}\frac{ml^2}{12}\) \(J_{Gz}=\frac{m\left(R^2+r^2\right)}{2}\) \(J_{Gx}=\frac{m\left(a^2+l^2\right)}{12}\) \(J_{Gy}=\frac{m\left(b^2+l^2\right)}{12}\) \(J_{Gz}=\frac{m\left(a^2+b^2\right)}{12}\) \(J_{Gx}=J_{Gy}=J_{Gz}=\frac{2mR^2}{5}\) \(J_{Gx}=J_{Gy}=\frac{ml^2}{12}\) \(J_{Gz}\approx 0\)

 

Théorème du moment dynamique

Soit un système matériel \(S\), en mouvement de rotation autour d’un axe \((O,\vec z)\) dans un référentiel Galiléen \(\mathcal{R}_g\), de moment d’inertie selon l’axe \((O,\vec z)\) égal à \(J_{Oz}\) \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{M_{0\left(\bar S\rightarrow S\right)}}=J_{Oz}\dot{\omega}}}\)

Remarque : le théorème est valable en tout point de l’axe de rotation.

 


Principe Fondamental de la Statique

Définition de l’équilibre

Un système matériel \(S\) est en équilibre (ou au repos) s’il existe un référentiel Galiléen \(\mathcal{R}_g\) tel qu’à tout instant t, chaque point de \(S\) conserve la même position par rapport à \(\mathcal{R}_g\).

Énoncé du Principe Fondamental de la Statique

Si un système matériel \(S\) est à l’équilibre dans un référentiel Galiléen, alors la somme des actions mécaniques extérieures qui lui sont appliquées est nulle

torseur des actions mécaniques
extérieures à \(S\)
= torseur nul
\(\Large{\{\mathcal{T}_{\bar S\rightarrow S}\}}\) = \(\Large{\{0\}}\)
ATTENTION
La réciproque n’est pas vraie ! Un système soumis à aucune action mécanique extérieure n’est pas forcément en équilibre (exemple : solide équilibré et en rotation autour d’un axe fixe)

 

Écriture vectorielle du P.F.S.

Le Principe Fondamental de la Statique se traduit par deux équations vectorielles :

Si un système matériel \(S\) est à l’équilibre, alors :

  • \(\Large{\overrightarrow{R_{\bar S\rightarrow S}}=\overrightarrow{0}}\) : Théorème de la Résultante Statique
  • \(\Large{\overrightarrow{M_{P\left(\bar S\rightarrow S\right)}}=\overrightarrow{0}}\) : Théorème du moment statique

quel que soit le point \(P\) choisi !

Ces deux équations vectorielles permettent d’obtenir

  • dans l’espace : un système de 6 équations scalaires indépendantes
  • dans le plan : un système de 3 équations scalaires indépendantes (2 pour le théorème de la résultante, 1 pour le théorème du moment)

 

Traduction graphique du P.F.S.

Principes de résolution

Il va s’agir de traduire graphiquement les équations vectorielles du P.F.S.

Pour cela, on a besoins de deux espaces superposables :

  • L’épure : un espace de points de dimension 2 permettant de représenter la géométrie (solides, points, …)  Il s’agit souvent d’un schéma cinématique.
  • Le dynamique : un espace vectoriel permettant de représenter les vecteurs forces

La superposition de ces deux espaces permet bien de représenter des glisseurs (un vecteur force + un point d’application).

L’équation de la résultante se traduit graphiquement des vecteurs mis bout à bout de telle sorte que la boucle soit fermée.

On parle de dynamique fermé.

\(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{0}\)

L’équation de moment ne peut pas se traduire par une représentation des vecteurs moment, mais a des répercutions sur la position des lignes d’action → tracé sur l’épure.

 

Cas particulier d’un système soumis à 2 glisseurs

Soit \(S\) un système matériel soumis à l’action de deux glisseurs : \(\overrightarrow{F_1}\) et \(\overrightarrow{F_2}\).

  • équation de la résultante : \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{0}\)
  • équation du moment au point \(A\) : \(\overrightarrow{M_{A}\left(\overrightarrow{F_2}\right)}=\overrightarrow{0}\)

ce qui se traduit par : \(\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{F_2}\)

 

Si un système matériel soumis à l’action de 2 forces est en équilibre,
alors ces 2 forces sont directement opposées (même droite d’action, même intensité, sens opposé)

Cas particulier d’un système soumis à 3 glisseurs

Soit S un système matériel soumis à l’action de trois glisseurs seulement : \(\overrightarrow{F_1}\), \(\overrightarrow{F_2}\) et \(\overrightarrow{F_3}\)(de droites support , et )

  • équation de la résultante : \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}\)
  • équation du moment au point \(I=\Delta_2 \cap\Delta_3\) : \(\overrightarrow{M_{I\left(\overrightarrow{F_1}\right)}}=\overrightarrow{0}\)

ce qui se traduit par \(I\in\Delta_1\) ⇒ \(I\in\Delta_1\), \(I\in\Delta_2\) et \(I\in\Delta_3\) sont donc concourantes.

 

Si un système matériel soumis à l’action de 3 forces est en équilibre, alors ces 3 forces sont :

  • concourantes ou parallèles
  • de somme vectorielle nulle

Remarque : dans le cas de forces parallèles, on ne traitera pas le problème graphiquement, mais analytiquement, à l’aide du théorème du moment statique.

 

Application Geogebra

L’application ci-dessous permet de résoudre un problème de statique dans le cas d’un système matériel soumis à trois forces, sans passer par le tracé « papier ».

 

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