Mouvements, trajectoires et vitesses

Étude des mouvements d’un vélo

La roue avant d’un vélo roule sans glisser sur le sol. Le point de contact entre ces deux solides est appelé \(A\).

Définir les mouvements suivants : \(Mvt_{2/0}\), \(Mvt_{1/2}\) et \(Mvt_{1/0}\).
CORRECTION

\(Mvt_{2/0}\) : translation rectiligne de direction horizontale

\(Mvt_{1/2}\) : rotation autour du centre \(B\)

\(Mvt_{1/0}\) : mouvement composé

 

Tracer les trajectoires : \(T_{C\in 2/0}\), \(T_{B\in 1/0}\) et \(T_{B\in 2/0}\) puis \(T_{A\in 1/0}\), \(T_{A\in 1/2}\) et \(T_{A/0}\).

Le vélo avance à \(30\;\text{km/h}\).

Tracer les vitesses : \(\overrightarrow{V_{C\in 2/0}}\), \(\overrightarrow{V_{B\in 1/0}}\), \(\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}(t_0)\), \(\overrightarrow{V_{A/0}}(t_0)\) et \(\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}(t_1)\). Justifier.

 

Calculer leurs normes.
CORRECTION

Le \(Mvt_{2/0}\) étant une translation (rectiligne) :

\(\|\overrightarrow{V_{C\in 2/0}}\|=30\;\text{km/h}\)

 

Le \(Mvt_{1/0}\) étant un mouvement composé, on ne peut pas en déduire directement \(V_{B\in 1/0}\).
Mais au point \(B\), il y a une articulation (liaison pivot) entre \(1\) et \(2\). Par conséquent : \(\overrightarrow{V_{B\in 1/2}}=\vec 0\)

En décomposant ce vecteur : \(\overrightarrow{V_{B\in 1/0}}=\overrightarrow{V_{B\in 1/2}}+\overrightarrow{V_{B\in 2/0}}=\overrightarrow{V_{B\in 2/0}}\)

Le \(Mvt_{2/0}\) étant une translation (rectiligne) :

\(\|\overrightarrow{V_{B\in 1/0}}\|=30\;\text{km/h}\)

 

À l’instant \(t_0\), \(A\in 1\) est en contact avec le sol. Par définition, le roulement sans glissement entre la roue et le sol au point \(A\) implique :

\(\|\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}(t_0)\|=0\)

 

Le point  \(A\) est défini comme « point de contact » entre \(1\) et \(0\) …. et il le reste au cours du mouvement :

\(\|\overrightarrow{V_{A/0}}(t_1)\|=30\;\text{km/h}\|\)

 

À l’instant \(t_0\), \(A\in1\) n’est plus en contact avec le sol. \(Mvt_{1/0}\) étant un mouvement composé, on ne peut pas en déduire directement \(\overrightarrow{V_{A(t_1)\in 1/0}}\) Au point de contact \(A\) (distinct de \(A\in 1\) !!) \(\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}=\vec 0\) : \(A\) est donc Centre Instantané de Rotation ! Le point \(A\in1\) étant à une distance de \(A\) deux fois plus grande que \(B\), sa vitesse est donc égale au double de celle de \(B\).

\(\|\overrightarrow{V_{A\in1/0}}(t_1)\|=2\|\overrightarrow{V_{B\in 1/0}}(t_1)\|=60\;\text{km/h}\|\)

 

On soulève la roue avant. Le vélo étant à l’arrêt, on la fait tourner vers l’avant à une vitesse de \(\omega_{1/2}=3\;\text{tr/s}\).
Le rayon extérieur de la roue est \(R=35\;\text{cm}\) ; le rayon intérieur de la jante est \(r=30\;\text{cm}\).

Tracer sur la figure suivante les vitesses \(\overrightarrow{V_{D\in 1/0}}\) et \(\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}\). Justifier.
 
 
 
Calculer les normes de ces vitesses.
CORRECTION

Le \(Mvt_{1/0}\) étant à présent un mouvementde rotation de centre \(B\), on a :

\(\|\overrightarrow{V_{D\in 1/0}}\|=\omega_{1/2} \times BD=3\times 2\pi\times 0,3=5,65\;\text{m/s}\)

\(\|\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}\|=\omega_{1/2}\times BA=3\times 2\pi\times 0,35=6,6\;\text{m/s}\)

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