Mouvements, trajectoires et vitesses

\(Mvt_{2/0}\) : translation rectiligne de direction horizontale

\(Mvt_{1/2}\) : rotation autour du centre \(B\)

\(Mvt_{1/0}\) : mouvement composé (roulement sans glissement)

\(Mvt_{2/0}\) : translation rectiligne de direction horizontale

⇒ \(T_{C\in 2/0}\) : segment de droite horizontale

⇒ \(T_{B\in 2/0}\) : segment de droite horizontale

\(Mvt_{1/0}\) : mouvement composé = \(Mvt_{1/2} + Mvt_{2/0}\)

or \(Mvt_{1/2}\) : rotation autour du centre \(B\)

⇒ \(T_{B\in 1/2}\) : point !! (car \(B\) centre de la rotation)

par conséquent \(T_{B\in 1/0} = T_{B\in 2/0}\) :

À \(t = 0\), \(\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}(t_0)=\vec 0\) : c’est ainsi que l’on définit le roulement sans glissement de la roue sur le sol.

C’est parce que cette condition est respectée que l’on peut écrire :

À \(t = 0\),\(\forall P\in1,\;\overrightarrow{V_{P\in 1/0}}=\omega_{1/0}\times AP\)

Le point \(A\) est géométriquement défini comme point de contact entre la roue et le sol : ce point est équivalent à \(A\in 2\) (immobile par rapport au cadre)

Par composition des vitesses au point \(A\) :

\(\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}=\overrightarrow{V_{A\in 1/2}}+\overrightarrow{V_{A\in 2/0}}\)

⇒ \(\overrightarrow{V_{A\in 2/0}}=-\overrightarrow{V_{A\in 1/2}}\)

Le \(Mvt_{2/0}\) étant une translation (rectiligne) :

\(\|\overrightarrow{V_{C\in 2/0}}\|=30\;\text{km/h}\)

Le \(Mvt_{1/0}\) étant un mouvement composé, on ne peut pas en déduire directement \(V_{B\in 1/0}\).
Mais au point \(B\), il y a une articulation (liaison pivot) entre \(1\) et \(2\). Par conséquent : \(\overrightarrow{V_{B\in 1/2}}=\vec 0\)

En décomposant ce vecteur : \(\overrightarrow{V_{B\in 1/0}}=\overrightarrow{V_{B\in 1/2}}+\overrightarrow{V_{B\in 2/0}}=\overrightarrow{V_{B\in 2/0}}\)

Le \(Mvt_{2/0}\) étant une translation (rectiligne) :

\(\|\overrightarrow{V_{B\in 1/0}}\|=30\;\text{km/h}\)

À l’instant \(t_0\), \(A\in 1\) est en contact avec le sol. Par définition, le roulement sans glissement entre la roue et le sol au point \(A\) implique :

\(\|\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}(t_0)\|=0\)

Le point  \(A\) est défini comme « point de contact » entre \(1\) et \(0\) …. et il le reste au cours du mouvement :

À l’instant \(t_0\), \(A\in1\) n’est plus en contact avec le sol. \(Mvt_{1/0}\) étant un mouvement composé, on ne peut pas en déduire directement \(\overrightarrow{V_{A(t_1)\in 1/0}}\) Au point de contact \(A\) (distinct de \(A\in 1\) !!) \(\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}=\vec 0\) : \(A\) est donc Centre Instantané de Rotation ! Le point \(A\in1\) étant à une distance de \(A\) deux fois plus grande que \(B\), sa vitesse est donc égale au double de celle de \(B\).

Le \(Mvt_{1/0}\) étant à présent un mouvement de rotation de centre \(B\), on a :

\(\|\overrightarrow{V_{D\in 1/0}}\|=\omega_{1/2} \times BD=3\times 2\pi\times 0,3=5,65\;\text{m/s}\)

\(\|\overrightarrow{V_{A\in 1/0}}\|=\omega_{1/2}\times BA=3\times 2\pi\times 0,35=6,6\;\text{m/s}\)