Mouvements plans

Un solide est animé d’un mouvement plan si tout point \(M\) de ce solide reste à une distance constante d’un plan fixe au cours de son mouvement.

 

Rotation autour d’un axe fixe

Si un solide (1) est animé d’un mouvement de rotation par rapport (0) autour du point \(P\) alors :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\color{gray}{∀M\in (1):}\left\|\overrightarrow{V_{M\in 1/0}}\right\|=\omega_{1/0}\cdot PM}}\)

avec :

  • \(\omega_{1/0}\) : vitesse de rotation [rad/s]
  • \(PM\) : « rayon » en mètre [m]
  • \(\left\|\overrightarrow{V_{M\in1/0}}\right\|\) : en mètre par seconde [m/s]

 

 

Translation (rectiligne, circulaire ou quelconque)

Si un solide (1) est animé d’un mouvement de translation par rapport à (0) alors :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\color{gray}{∀M, N\in (1):}\overrightarrow{V_{M\in 1/0}}=\overrightarrow{V_{N\in 1/0}}}}\)

 

 

 

Centre (instantané) de rotation

Le centre instantané de rotation (C.I.R.) d’un solide (1) par rapport à un solide de référence (0) est le point situé à l’intersection des droites perpendiculaires aux vecteurs vitesse de 2 points distincts du solide (1).

On ne note souvent \(CIR_{1/0}\) ou \(I_{1/0}\).

 

Le C.I.R. est similaire au centre de rotation d’un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe, à la différence que sa position varie au cours du temps.

 

Conséquence :
Connaissant le C.I.R. d’un solide et la vitesse d’un point \(M\), on peut déterminer graphiquement la vitesse de tout point \(N\) de ce même solide par la construction ci-contre.

 

Théorème de l’équiprojectivité

Énoncé : soient deux points \(\color{red}{M}\) et\(\color{blue}{N}\) appartenant à un solide (1) ; leurs vecteurs vitesse dans le mouvement de (1) par rapport à (0) sont équiprojectifs sur l’axe \((\color{red}{M}\color{blue}{N})\) :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{V_{\color{red}{M}\in \color{green}{1/0}}}\cdot \overrightarrow{\color{red}{M}\color{blue}{N}}=\overrightarrow{V_{\color{blue}{N}\in \color{green}{1/0}}}\cdot \overrightarrow{\color{red}{M}\color{blue}{N}}}}\)

L’égalité de ces produits scalaires est équivalente à l’égalité des projections orthogonales des vecteurs vitesse sur le même axe \((\color{red}{M}\color{blue}{N})\).

 

 

Loi de composition des vitesses

Quels que soient le point \(B\) et deux solides (1) et (2) en mouvement par rapport à (0) :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}+\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}}}\)

La vitesse \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/0}}\) due à la rotation de la came autour de A peut se décomposer en :

  • \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}\) (appelée vitesse de glissement)
  • \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}\) (appelée vitesse d’entraînement)

 

Points coïncidents (cas d’une articulation)

Articulation = liaison assurant un guidage en rotation (pivot, pivot-glissant, rotule, sphère-cylindre)
Si (1) et (2) sont deux solides articulés au point \(M\).

Composition des vitesses : \(\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}+\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}\)

or \(\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}=\overrightarrow{0}\) car \(M\) est sur l’axe de la rotation entre (1) et (2)

donc :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}}}\)

 

\(M\in 1\) et \(M\in 2\) sont des points constamment coïncidents.

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