Mouvements plans
Un solide est animé d’un mouvement plan si tout point \(M\) de ce solide reste à une distance constante d’un plan fixe au cours de son mouvement.
Exemple : le mécanisme bielle-manivelle est un mécanisme plan
Tous les solides du mécanisme ont un mouvement plan
Rotation autour d’un axe fixe
Le vecteur vitesse du point \(M\) d’un solide (1) en rotation de centre \(P\) par rapport au solide (0)
est défini par le vecteur :
- direction : tangente à la trajectoire = perpendiculaire au rayon \([PM]\)
- sens : celui donné par le mouvement de rotation
- norme :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\color{gray}{∀M\in (1):}\left\|\overrightarrow{V_{M\in 1/0}}\right\|=\omega_{1/0}\cdot PM}}\)
avec :
-
- \(\omega_{1/0}\) : vitesse de rotation [rad/s]
- \(PM\) : « rayon » en mètre [m]
- \(\left\|\overrightarrow{V_{M\in1/0}}\right\|\) : en mètre par seconde [m/s]
Exemple : le mouvement de la manivelle dans un mécanisme bielle-manivelle
Translation (rectiligne, circulaire ou quelconque)
Si un solide (1) est animé d’un mouvement de translation par rapport à (0) alors :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\color{gray}{∀M, N\in (1):}\overrightarrow{V_{M\in 1/0}}=\overrightarrow{V_{N\in 1/0}}}}\)
Exemple : le mouvement du coulisseau dans un mécanisme bielle-manivelle
Centre (instantané) de rotation
Le centre instantané de rotation (C.I.R.) d’un solide (1) par rapport à un solide de référence (0) est le point situé à l’intersection des droites perpendiculaires aux vecteurs vitesse de 2 points distincts du solide (1).
On ne note souvent \(CIR_{1/0}\) ou \(I_{1/0}\).
Le C.I.R. est similaire au centre de rotation d’un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe, à la différence que sa position varie au cours du temps.
ATTENTION : la position du CIR change au cours du temps, mais la vitesse de ce point lié au solide est nulle !!
\(\overrightarrow{V_{I_{1/0}}}\neq\vec 0\) et \(\overrightarrow{V_{I_{1/0}\in 1/0}}=\vec 0\)
Exemple : le mouvement de la bielle dans un mécanisme bielle-manivelle
Conséquence :
Connaissant le C.I.R. d’un solide et la vitesse d’un point \(M\), on peut déterminer graphiquement la vitesse de tout point \(N\) de ce même solide par la construction ci-contre.
Théorème de l’équiprojectivité
L’égalité de ces produits scalaires est équivalente à l’égalité des projections orthogonales des vecteurs vitesse sur le même axe \((\color{red}{M}\color{blue}{N})\).
Loi de composition des vitesses
Quels que soient le point \(B\) et deux solides (1) et (2) en mouvement par rapport à (0) :
La vitesse \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/0}}\) due à la rotation de la came autour de A peut se décomposer en :
- \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}\) (appelée vitesse de glissement)
- \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}\) (appelée vitesse d’entraînement)
Points coïncidents (cas d’une articulation)
Composition des vitesses : \(\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}+\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{blue}{2}/0}}\)
or \(\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}=\overrightarrow{0}\) car \(M\) est sur l’axe de la rotation entre (1) et (2)
donc :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{blue}{2}/0}}}}\)\(M\in 1\) et \(M\in 2\) sont des points constamment coïncidents.