Modélisation des Actions Mécaniques

\(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2}\)

Définitions

Une action mécanique est la cause susceptible de :

  • faire varier un mouvement,
  • maintenir immobile (en équilibre),
  • déformer un système matériel.

Conséquence : on ne détecte une action mécanique que par les effets qu’elle produit !

exemple : dans ce micromoteur d’avion de modélisme, la combustion des gaz provoque le mouvement du piston.

Un système matériel est un système composé de matière (solide, fluide,…).

En mécanique classique, il est de masse constante (on parle de système matériel à masse conservative).

Remarque : un système matériel n’est pas forcément solide !

exemple : pour étudier les actions mécaniques en jeu dans le micromoteur de modélisme on peut le décomposer en 4 systèmes matériels solides …

… mais l’air qui agit sur l’hélice, les gaz de combustion, … sont également des systèmes matériels.

 

Isolement d’un système matériel : frontière d’isolement

Le système matériel étudié \(\mathcal{S}\), est délimité par une frontière d’isolement, qui divise l’univers en deux parties :

  • l’ensemble matériel \(\mathcal{S}\), objet de l’étude
  • le milieu extérieur \(\bar{\mathcal{S}}\), c’est à dire tout ce qui n’est pas \(\mathcal{S}\)

Une étude mécanique (dynamique ou statique) consistera à étudier les effets des actions mécaniques sur \(\mathcal{S}\).

Pour cela, il faut l’isoler, puis recenser les actions mécaniques qu’il subit :

  • actions mécaniques extérieures à \(\mathcal{S}\) : exercées par  sur un élément de \(\mathcal{S}\)
  • actions mécaniques intérieures à \(\mathcal{S}\) : exercées par sur un élément de \(\mathcal{S}\) sur un autre élément de \(\mathcal{S}\)

exemple : isolement du piston du micromoteur de modélisme

la bielle, le carter, les gaz de combustion, … sont des éléments du milieu extérieur au piston.

 

Classification des actions mécaniques

Action à distance

Si chaque élément infinitésimalinfinitésimal Quantité infiniment petite d'une grandeur physique. Notation : on ajoute la lettre [latex]\text{d}[/latex] devant la grandeur étudiée : exemple : [latex]\text{d}t[/latex] pour une durée infiniment petite   de volume \(dV\) du système matériel \(\mathcal{S}\) subit une action mécanique, on parle d’action volumique.

exemples : champ de pesanteur, champ magnétique, …

exemple : action de la pesanteur sur chacune des « particules » de la bielle du micromoteur

Action de contact

Un autre ensemble matériel agit par contact sur une portion de surface \(S\) de \(\mathcal{S}\) dont chaque élément infinitésimal de surface \(dS\) subit une action mécanique : on parle d’action surfacique ou action de pression.

exemples : pression exercée par un fluide, action de contact avec un solide,…

Une action mécanique d’un ensemble matériel \(\mathcal{S}_1\) sur un ensemble matériel \(\mathcal{S}_2\) est donc composé d’une infinité d’actions mécaniques (ou forces) élémentaires réparties sur une portion de surface de \(\mathcal{S}_2\).

exemple : pression exercée par l’air sur une pale de l’hélice (rouge = pression – bleu = dépression)

Au niveau d’une section de pale, on peut représenter le profil de la pression sous la forme d’une infinité de forces surfaciques \(\overrightarrow{f(P)}\) s’appliquant à chaque point \(P\) de la surface de la pale :

Pour simplifier les calculs, il faut adopter une modélisation globale, en « additionnant » toutes ces forces en un seul vecteur appelé résultante.

Si \(S\) est une surface de \(\mathcal{S}_2\) sur laquelle \(\mathcal{S}_1\) applique une action mécanique surfacique, on écrit :

\(\Large{\overrightarrow{R_{\mathcal{S}_1\rightarrow \mathcal{S}_2}}=\displaystyle\int_{P\in S}\overrightarrow{f(P)}\,dS}\)

chaque force surfacique élémentaire \(\overrightarrow{f(P)}\) s’applique sur un élément infinitésimal de surface \(dS\).

Pour produire le même effet que la pression de l’air, cette résultante doit s’appliquer en un « point particulier » (qui n’est pas forcément un point de la surface !).

exemple : dans le cas de l’hélice, pour une seule de ses pales, on peut représenter ce vecteur résultante ainsi :

Autre exemple : action d'une clé sur un écrou

 


Modélisation des actions mécaniques

Une action mécanique (on abrègera AM) d’un ensemble matériel  sur un autre peut être décomposée en deux actions élémentaires, modélisées par des vecteurs :

  • Action « pousser » : \(\color{red}{\overrightarrow{R_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\)  
    appelée résultante de l’AM
  • Action « tordre » : \(\color{green}{\overrightarrow{M_{A,{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}}\)
    appelé moment résultant en A de l’AM

Pour décrire complètement  une AM, ces deux vecteurs sont nécessaires, aussi, on utilise souvent la notation torseur :

\( \{ \mathcal{T} (\mathcal{S}_1\rightarrow \mathcal{S}_2) \}
=
{\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{A}}
\left\{ \begin{array}{c}
\color{red}{\overrightarrow{R_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}} \\
\color{green}{\overrightarrow{M_{A,{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}}
\end{array} \right\}
\)
\(A\) est appelé point de rédution du torseur.

On peut exprimer un torseur en n’importe quel point de l’espace, mais le vecteur moment résultant n’a pas la même expression en tout point.

 

Dans les cas d’actions mécaniques simples, on préfèrera parfois utiliser les notions de force et de couple

 

Notion de force (ou glisseur)

On appelle force ou glisseur une action mécanique qui peut se réduire à l’action « pousser » :

⇒ son moment résultant est nul en tout point \(P\) d’une droite appelée ligne d’action ou droite support de la force.

notation, sous forme de torseur :

\(\{ \mathcal{T} (\mathcal{S}_1\rightarrow \mathcal{S}_2) \}
=
{\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{array}{c}
\color{red}{\overrightarrow{R_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}} \\
\color{green}{\overrightarrow{0}}
\end{array} \right\}
\)

ou bien plus simplement, comme association d’un point et d’un vecteur de type résultante d’AM :

\(\left(P,\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\right)\)

Une force est donc caractérisée par :

  • son point d’application : un point où est exercée l’action de « pousser »
  • sa direction et son sens : ceux de l’action de « pousser ».
  • sa norme : l’intensité de l’action exprimée en Newton [N]

Attention : en tout autre point \(A\) en dehors de la droite \(\left(P,\vec{u}\right)\), le moment résultant de la force n’est pas nul ! On parle alors de moment en \(A\) de la force.

 

exemple : l’action de la bielle du micromoteur sur le piston est une force

Elle s’exerce au point \(P\), centre de la liaison, dans la direction formée par les centres des deux liaisons de la bielle (avec le piston et avec le vilebrequin), dans le sens tel qu’elle s’oppose à la descente du piston (phase de détente des gaz).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Notation vectorielle

Dans la notation vectorielle d’une force, on identifie chacune de ses caractéristiques :

 

Moment en un point d’une force

Soit un système matériel \(\mathcal{S}_2\), recevant de \(\mathcal{S}_1\) une force \(\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\) de point d’application \(B\).

Au point \(A\), \(\mathcal{S}_2\) « ressent » l’effet de la force \(\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\)

mais également l’effet du moment en \(A\) de \(\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\).

On le note \(\color{green}{\overrightarrow{M_{A}\left(\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\right)}}\) et il est caractérisé par :

  • une direction : normale au plan formé par \((A, \color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}})\)
  • un sens : trigonométrique autour de l’axe \((A,\vec z)\)
  • une norme, en Newton.mètre [N.m] :
\(\left\|\color{green}{\overrightarrow{M_{A}\left(\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\right)}}\right\|=\left\|\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\right\|\times \color{blue}{d}\)

avec : \(\left\|\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\right\|\) [N] 
et \(\color{blue}{d}\) = bras de levier [m]

Définition

Le bras de levier \(\color{blue}{d}\) est la distance entre le point d’étude de l’action mécanique et la droite support de la force.


Déplacer les points pour modifier la force et son moment …

 

exemple : moment de la force exercée par la bielle du micromoteur sur le vilebrequin

 

 

Notation vectorielle

\(\color{green}{\overrightarrow{M_{A}\left(\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\right)}}=\overrightarrow{AB}\wedge\color{red}{\overrightarrow{F_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\)

Voir : Les vecteurs/Produit vectoriel

 

Théorème de Varignon

Le moment en un point d’une force est égale à la somme des moments au même point de toutes ses composantes.

 

Notion de couple

On appelle couple une action mécanique limitée à l’action « tordre ».

  • Résultante nulle :  \(\color{red}{\overrightarrow{R_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}=\overrightarrow{0}\)
  • Moment résultant  non nul : \(\color{green}{\overrightarrow{M_{A,{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}}\neq\overrightarrow{0}\) (identique en tout point \(A\))

Par conséquent, on peut modéliser un couple par un unique vecteur, noté parfois \(\color{green}{\overrightarrow{C_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}}}\), sans besoin de préciser de point.

Un couple est donc caractérisé par :

  • sa direction :   l’axe de l’action de « tordre »
  • son sens :   celui du mouvement de rotation que provoquerait l’action de « tordre ». Rappel  : sens positif
  • sa norme :   l’intensité de l’action exprimée en Newton mètre [N.m]

exemple : le vilebrequin exerce un couple sur l’hélice

 

Équivalence des actions mécaniques

Une même action mécanique peut être décrite de différentes manières.

Exemples :

Principe des actions mutuelles

Lorsque deux solides 1 et 2 sont en contact, l’action mécanique exercée par le solide1 sur le solide 2 est l’opposée de l’action exercée par le solide 2 sur le solide 1.

Exemple : Bille sur le sol

Principaux cas d’action mécanique

Pesanteur (ou gravité)

Champ de pesanteur

Le champ de pesanteur ou de gravité, décrit l’action mécanique à distance exercée par la Terre sur les systèmes matériels placés dans son voisinage.

On parle de champ, car l’action de la pesanteur agit sur chaque particule d’un système matériel, et avec une intensité d’autant plus forte que la particule est près du centre de la Terre.

Les mécanismes que nous étudions ayant des dimensions réduites devant celles de la Terre, nous considèrerons ce champ uniforme et prendrons la valeur qu’il a au niveau du sol : \(g=9,81 m/s^2\)

Remarque : \(g\) est homogène à une accélération, mesurée en \(m/s^2\), c’est l’accélération subie par le système \((S)\) placé dans le champ de pesanteur, en l’absence de toute autre action mécanique (chute libre dans le vide).

 

Action mécanique de pesanteur

L’action mécanique de pesanteur sur un système matériel \(S\), de masse \(m\), est modélisable par une force, notée \(\overrightarrow{P}\) et caractérisée par :

  • son point d’application :   le centre de gravité du système matériel,
  • sa direction et son sens :   verticale, vers le bas (\(-\vec z\) dans l’exemple ici),
  • sa norme :   le poids du système :
\(\left\|\overrightarrow{P}\right\|=m\times g\)

 

Contact entre un solide et un fluide

L’action mécanique exercée par un fluide sous pression \(p\) sur la surface plane \(S\) d’un système matériel \(1\) est modélisable par une force, notée \(\overrightarrow{F_{fluide\rightarrow 1}}\)  et caractérisée par :

  • son point d’application :   le centre de la surface
  • sa direction :   \(\perp\) à la surface
  • son sens :   du fluide vers le système matériel
  • sa norme :
\(\left\|\overrightarrow{F_{fluide\rightarrow 1}}\right\|=p\times S\)

\(p\) : pression [Pa]

\(S\) : surface [m²]

Action exercée par un ressort

Un système matériel \(1\) exerce sur un ressort une action mécanique.

La déformation du ressort augmente avec l’intensité de cette action mécanique.

Ressort de traction-compression Ressort de torsion

Force : \(F_{ressort\rightarrow 1}=f(\Delta l)\)

Couple : \(C_{ressort\rightarrow 1}=f(\Delta \theta)\)

\(\Delta l\) : allongement-rétrécissement (ou flèche) du ressort \(\Delta \theta\) : déformation angulaire du ressort

Cas particulier d’un ressort de traction-compression « linéaire » :

  • son point d’application :   sur l’axe du ressort
  • sa direction :   l’axe du ressort
  • son sens :   opposé au sens de la flèche
  • sa norme :
\(F_{ressort\rightarrow 1}=k.\Delta l\)

\(k\) : raideur [N/m]

\(\Delta l\) : flèche du ressort [m]

 

 

Actions mécaniques transmissibles par les liaisons parfaites

Hypothèse de la liaison parfaite

On dit qu’une liaison entre deux solides \(S_1\) et \(S_2\) est statiquement parfaite si l’on peut négliger le frottement au contact entre \(S_1\) et \(S_2\).

Détermination de l’action mécanique transmissible par une liaison parfaite

Une liaison autorise des mobilités relatives (degrés de liberté). Nous allons voir que ces liaisons permettent de transmettre des efforts entre les pièces la constituant…

 

Exemple : Liaison pivot glissant d’axe \((A,\vec x)\)

  • Si je pousse le solide 1 suivant l’axe \(\vec x\), est ce que je transmets un effort au solide 2 ?

NON puisque 1 est libre de se déplacer par rapport à 2 suivant l’axe \(\vec x\), 2 ne l’empêche donc pas de se déplacer (pas de frottement).

  • Si je pousse le solide 1 suivant l’axe \(\vec y\)… ?

OUI puisque le solide 2 empêche la translation  de 1 suivant l’axe \(\vec y\).

 

  • Si je tords le solide 1 autour de l’axe \((A,\vec x)\), est ce que je transmets un effort au solide 2 ?

NON puisque 1 est libre en rotation

  • Si je tords le solide 1 autour de l’axe \((A,\vec y)\), est ce que je transmets un effort au solide 2 ?

OUI puisque 1 n’est pas libre en rotation

Conclusion : On constate donc qu’à chaque fois qu’il y a un degré de mobilité possible entre les deux solides, il n’y a pas d’AM transmises.

  • les translations sont empêchées par l’AM « Pousser »
  • les rotations sont empêchées par l’AM « Tordre »

 

Il y a complémentarité entre les degrés de liberté (mobilité) d’une liaison et l’action mécanique qu’elle peut transmettre.

On peut donc écrire l’action mécanique, résultante et moment résultant, du solide \(1 \) sur le solide \(2 \)  transmissible par la liaison pivot glissant.

\( \{ \mathcal{T} (\mathcal{S}_1\rightarrow \mathcal{S}_2) \}
={\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{array}{c}
\overrightarrow{R_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}} \\
\overrightarrow{0}
\end{array} \right\}
={\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{array}{c}
0 \ 0\\
Y_{12} \ M_{12}\\
Z_{12} \ N_{12}\\
\end{array} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)
Nom de la liaison
caractéristiques
Symbole
perspective
Symboles
plans

Torseur d’action mécanique transmissible

\(\{ \mathcal{T} (\mathcal{S}_1\rightarrow \mathcal{S}_2) \}\)

Sphère-Plan

de normale \(\left(P,\vec x\right)\)

        \( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
X_{12} & 0\\
0 & 0\\
0 & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Appui-Plan

de normale \(\vec x\)

 \( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
X_{12} & 0\\
0 & M_{12}\\
0 & N_{12}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Sphère-Cylindre

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
0 & 0\\
Y_{12} & 0\\
Z_{12} & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Sphérique

de centre \(P\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
X_{12} & 0\\
Y_{12} & 0\\
Z_{12} & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Sphérique à doigt

de centre \(P\)

et de rotation
interdite \(\vec x\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
X_{12} & L_{12}\\
Y_{12} & 0\\
Z_{12} & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Cylindre-Plan

de normale \(\vec x\)

d’arête \(\left(P,\vec y\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
X_{12} & 0\\
0 & 0\\
0 & N_{12}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Pivot-Glissant

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
0 & 0\\
Y_{12} & M_{12}\\
Z_{12} & N_{12}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Pivot

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
X_{12} & 0\\
Y_{12} & M_{12}\\
Z_{12} & N_{12}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Glissière

de direction \(\vec x\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
0 & L_{12}\\
Y_{12} & M_{12}\\
Z_{12} & N_{12}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Hélicoïdale

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

de pas \(p\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
X_{12} & L_{12}=2\pi\frac{X_{12}}{p}\\
Y_{12} & M_{12}\\
Z_{12} & N_{12}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

 

 

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