Fonctions logarithme et exponentielle

Fonction logarithme

Définition

Soit \(a\) élément de \(\mathbb{R}^+\) tel que \(a\neq 1\)

Le logarithme de base \(a\), noté \(\log_a\), est l’unique fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) vérifiant les deux propriétés suivantes :

  • \(\large{log_a(a)=1}\)
  • \(\large{\forall x,y>0, \;\;\;\log_a(x\times y)=\log_a(x)+\log_a(y)}\)

Fonctions logarithmes usuelles

Il existe ainsi une infinité de fonctions logarithmes différentes, autant que de réels strictement positifs différents de 1, dont les plus usuelles sont :

  • Si \(a=\mathrm{e}\), il s’agit du logarithme népérien, noté également \(ln\)
  • Si \(a=2\), il s’agit du logarithme binaire.
  • Si \(a=10\), il s’agit du logarithme décimal.

 

Propriétés

Règles opératoires

Soit \(a\) élément de \(\mathbb{R}^+\) tel que \(a\neq 1\)

  • \(\log_a(1)=0\)
  • \(\forall x>0,\log_a(\frac{1}{x})=−\log_a(x)\)
  • \(\forall x,y>0,log_a(\frac{x}{y})=\log_a(x)−\log_a(y)\)
  • \(\forall x>0,\forall n∈\mathbb{N},\log_a(x^n)=n\times\log_a(x)\)
Démonstration

Si l’on applique l’égalité définissant le logarithme avec \(x=1\) et \(y=1\), on obtient \(\log_a(1)=2\times\log_a(1)\).

Ce qui prouve bien sûr que \(\log_a(1)=0\)

Appliquons cette même égalité avec cette fois \(x\) et \(\frac{1}{x}\).

Il vient \(\log_a(1)=\log_a(x)+\log_a(\frac{1}{x})\), ce qui prouve le résultat.

Utilisons maintenant l’égalité avec \(x\) et \(\frac{1}{y}\).

On a alors \(\log_a(\frac{x}{y})=\log_a(x)+\log_a(\frac{1}{y})\).

Il ne reste alors plus qu’à utiliser la seconde formule pour conclure.

Cette dernière égalité se prouve sans soucis par récurrence en utilisant la définition du logarithme.

Relation de proportionnalité entre les fonctions logarithmes

Soient \(a, b\) éléments de \(\mathbb{R}^+\) tels que \(a\neq 1\) et \(b\neq 1\)

On a la relation suivante entre les fonctions \(\log_a\) et \(\log_b\) :

\(\forall x>0,\;\;\;\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
Démonstration

On constate sans difficultés que les fonctions \(\log_a(x)\) et \(\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\) vérifient toutes les deux les propriétés définissant le logarithme de base \(a\). D’après l’unicité de ce dernier elles sont donc égales.

Échelle logarithmique

Sur une échelle linéaire, la position sur un axe d’une valeur est proportionnelle à sa valeur.

En sciences, dans de nombreux cas, la représentation des grandeurs physiques sur une échelle linéaire est inappropriée : les valeurs significatives se retrouvent concentrées d’un coté ou de l’autre de l’échelle.

Représentation de propriétés (masse volumique et empreinte carbone) d’un panel de matériaux sur des échelles linéaires

Une échelle logarithmique est un système de graduation en progression géométrique. La position sur l’axe d’une valeur est proportionnelle à son logarithme.

 

Attention : la fonction \(log\) n’étant définie que sur \(\mathbb{R}^+\), les valeurs doivent être non nulles et positives !

Une échelle logarithmique est particulièrement adaptée pour rendre compte des ordres de grandeur. Elle montre sur un petit espace une large gamme de valeurs.

En pratique, on utilise le plus souvent la fonction logarithme décimal \(\log_{10}\).

Représentation de propriétés (masse volumique et empreinte carbone) d’un panel de matériaux sur des échelles logarithmiques

Lecture sur une échelle logarithmique

 

source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Échelle_logarithmique

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est directement liée à la fonction logarithme.

Définition

Soit \(a\) élément de \(\mathbb{R}\).

L’exponentielle de base \(a\), notée \(\exp_a\), est l’unique fonction définie sur \(\mathbb{R}\) vérifiant les deux propriétés suivantes :

  • \(\large{exp_a(1)=a}\)
  • \(\large{∀x,y>0, \exp_a(x+y)=\exp_a(x)\times\exp_a(y)}\)

On la note également \(\exp_a(x)=a^x\)

 

Théorème

Soit \(a\) élément de \(\mathbb{R}^+\) tel que \(a\neq 1\)

La fonction \(\log_a\) est bijective de \(\mathbb{R}^+\) dans \(\mathbb{R}\), et la fonction \(\exp_a\) est bijective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}^+\).

Ces deux fonctions sont de plus réciproques l’une de l’autre, ce qui signifie en particulier que :

\(\forall x>0,\;\;\;a\log_a(x)=x\) \(\forall x\in\mathbb{R},\;\;\;\log_a(a^x)=x\)

 

 

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