Modélisation des liaisons mécaniques

\(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2}\)

Notions de Mécanisme et de Solides

On appelle mécanisme, un ensemble de pièces mécaniques reliées entre elles par des liaisons, en vue de réaliser une fonction déterminée.

Nous admettrons que les pièces mécaniques peuvent être modélisées par des solides indéformables.

Exception : Les pièces dont la fonction est de se déformer (ressorts, joints, etc…)

Solide indéformable

Définition :
Le solide indéformable possède une masse constante et un volume dont les limites sont invariantes quelles que soient les actions extérieures auxquelles il est soumis.

La distance entre deux points quelconques d’un solide indéformable est invariable.

Paramétrage de la position d’un solide

Pour connaitre la position de tous ses points dans l’espace, il suffit de connaitre la position d’un repère lié à ce solide.

Notons \(\mathcal{R}(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\) le repère de référence
et \(\mathcal{R}(O_1, \vec{x_1}, \vec{y_1}, \vec{z_1})\) le repère lié au solide.

La position du solide dans l’espace, est déterminée par 6 paramètres indépendants :

  • Position du point \(O_1\) dans \(\mathcal{R}\) : 3 coordonnées
  • Orientation de \((\vec{x_1}, \vec{y_1}, \vec{z_1})\) par rapport à \((\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\) : 3 angles

Notion de degré de liberté d’un solide

On appelle « libertés » d’un solide par rapport à un référentiel, les mouvements indépendants de ce solide pour passer d’une position à une autre.

Il existe deux mouvements élémentaires entre les solides :

  • Le mouvement de TRANSLATION (RECTILIGNE) : les trajectoires de tous les points du solide sont des droites parallèles.
  • Le mouvement de ROTATION : les trajectoires de chaque point sont des cercles coaxiaux.

Attention :  pour définir un mouvement, il est nécessaire de fixer une référence. La notion de mouvement est toujours relative : c’est le mouvement d’un système par rapport à un référentiel (ici défini par le repère \(\mathcal{R}\)).

On dit que le solide possède des degrés de liberté, chacun contrôlés par :

  • Soit un paramètre de position linéaire = translation
  • Soit un paramètre de position angulaire = rotation

Par exemple, dans un repère \(\mathcal{R}(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\), on pourra les noter :
Tx, Ty, Tz et Rx, Ry, Rz.

Remarque : Un solide possède au maximum 6 degrés de liberté et au minimum 0.

 

Notion de liaison

Définition :
On appelle liaison entre deux solides S1 et S2 l’ensemble des surfaces de contact appartenant aux deux solides visant à diminuer la mobilité entre ces deux solides.

La liaison entre 2 solides est définie par la nature et la position de la zone de contact, elle renseigne sur :

  • les mouvements relatifs rendus impossibles par ce contact : des degrés de liberté sont supprimés.
  • les actions mécaniques (forces et couples) transmissibles par ce contact.

Zones de Contacts

Le solide parfait est une masse de matière occupant un volume indéformable, donc délimité par une surface indéformable. Une partie de cette surface peut être constituée de points communs à la surface d’un autre solide : c’est le contact.

Repère local lié à la liaison

C’est un repère orthonormé direct, choisi de manière à caractériser simplement la géométrie du contact entre les deux solides, noté \(\mathcal{R}(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\); où \(O\) est le centre géométrique du contact, et les vecteurs \(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\) sont orientés dans les directions privilégiées tenant compte des symétries du contact.

Remarque : on observera avec attention les repères locaux choisis pour les liaisons usuelles !

Degrés de liberté/de liaison d’une liaison

Les degrés de liberté d’une liaison sont le nombre de déplacements élémentaires indépendants autorisés par cette liaison.

Les degrés de liaison sont le nombre de déplacements élémentaires interdits par la liaison.

Remarque : Degrés de liberté + Degrés de liaison = 6

Liaisons usuelles

Les cas les plus courants de liaison sont répertoriés par une Norme, qui fournit à chaque liaison normalisée : un nom et des symboles de représentation (schéma) dans le plan et en perspective.

Toute description d’une liaison doit préciser en plus du nom de la liaison, toutes les caractéristiques nécessaires à son positionnement dans l’espace : éléments géométriques (points, vecteurs, …) ou paramètres intrinsèques.

Nom de la liaison
caractéristiques
Symbole
perspective
Symboles
plans

Torseur cinématique

\(\{ \mathcal{V} (S_1/ S_2) \}\)

Sphère-Plan

de normale \(\left(P,\vec x\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & 0\\
\omega_{y} & v_{y}\\
\omega_{x} & v_{z}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Appui-Plan

de normale \(\vec x\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & 0\\
0 & v_{y}\\
0 & v_{z}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Sphère-Cylindre

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & v_{x}\\
\omega_{y} & 0\\
\omega_{z} & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Sphérique

de centre \(P\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & 0\\
\omega_{y} & 0\\
\omega_{z} & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Sphérique à doigt

de centre \(P\)

et de rotation
interdite \(\vec x\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
0 & 0\\
\omega_{x} & 0\\
\omega_{x} & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Cylindre-Plan

de normale \(\vec x\)

d’arête \(\left(P,\vec y\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & 0\\
\omega_{y} & v_{y}\\
0 & v_{z}\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Pivot-Glissant

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & v_{x}\\
0 & 0\\
0 & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Pivot

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & 0\\
0 & 0\\
0 & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Glissière

de direction \(\vec x\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
0 & v_{x}\\
0 & 0\\
0 & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Hélicoïdale

d’axe \(\left(P,\vec x\right)\)

de pas \(p\)

\( {\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\omega_{x} & v_{x}=\omega_{x}\frac{p}{2\pi}\\
0 & 0\\
0 & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

 

 

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