Trigonométrie
Mesure d’un angle
La mesure d’un angle se fait en radians [rad].
Définition du radian
intercepte sur la circonférence d’un cercle
un arc d’une longueur égale au rayon.
Un cercle complet représente un angle de \(2\pi\) radians.
Conversion :
- \(360^{\circ}=2\pi\;\text{rad}\)
- \(1^{\circ}=\frac{\pi}{180}\;\text{rad}\)
- \(1\;\text{rad}=\frac{180}{\pi}^{\circ}\)
Un angle est une grandeur sans dimension : le radian, son unité de mesure (système international), équivaut à un rapport mètres par mètre [m/m].
Voir aussi Radian et Arc
Longueur d’un arc de cercle
\(\large{\bbox[12px,border:2px solid black]{l = \alpha \times r}}\)avec \(\alpha\) en radians !!
La circonférence d’un cercle complet (appelée périmètre) a une longueur égale à \(2\pi\r\) (dans l’unité de \(r\)).
Voir aussi Radian et Arc
Cotés d’un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, on a souvent besoin de pouvoir exprimer
la longueur de certains de ses cotés
en fonction de celle d’un de ses cotés et d’un de ses angles :
On peut imaginer un cercle tel que :
- le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \(\alpha\),
- et le rayon \(r\) corresponde à l’hypoténuse du triangle rectangle
Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de \(r\) et de \(\alpha\) :
On peut aussi montrer, à l’aide du théorème de Pythagore :
\(\large{\bbox[10px,border:2px solid black]{\cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1}}\)
Voir Triangles rectangles
Mais on peut aussi imaginer un cercle tel que :
- le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \(\alpha\),
- et le rayon \(r\) corresponde au coté adjacent du triangle rectangle
Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de \(r\) et de \(\alpha\) :
Par définition :
\(\large{\bbox[10px,border:2px solid black]{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}}\)
Voir Triangles rectangles
Angles associés
\(\cos(\alpha)\)
\(\sin(\alpha)\)
Voir Angles associés
Angles remarquables
Voir Angles remarquables
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| \(\cos(\pi-\alpha)\) | \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) | \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\) | \(\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\) | \(\sin\left(\pi-\alpha\right)\) |
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