Trigonométrie

Mesure d’un angle

La mesure d’un angle se fait en radians [rad].

Définition du radian

Définition
Un angle de 1 radian
intercepte sur la circonférence d’un cercle
un arc d’une longueur égale au rayon.

Un cercle complet représente un angle de \(2\pi\) radians.

Conversion :

  • \(360^{\circ}=2\pi\;\text{rad}\)
  • \(1^{\circ}=\frac{\pi}{180}\;\text{rad}\)
  • \(1\;\text{rad}=\frac{180}{\pi}^{\circ}\)

Un angle est une grandeur sans dimension : le radian, son unité de mesure (système international), équivaut à un rapport mètres par mètre [m/m].

 

Voir aussi Radian et Arc

 

Longueur d’un arc de cercle

\(\large{\bbox[12px,border:2px solid black]{l = \alpha \times r}}\)

avec \(\alpha\) en radians !!

La circonférence d’un cercle complet (appelée périmètre) a une longueur égale à \(2\pi\r\) (dans l’unité de \(r\)).

 

Voir aussi Radian et Arc

 

 

 

Cotés d’un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, on a souvent besoin de pouvoir exprimer
la longueur de certains de ses cotés
en fonction de celle d’un de ses cotés et d’un de ses angles :

 

 

On peut imaginer un cercle tel que :

  • le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \(\alpha\),
  • et le rayon \(r\) corresponde à l’hypoténuse du triangle rectangle

Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de \(r\) et de \(\alpha\) :

 

On peut aussi montrer, à l’aide du théorème de Pythagore :

\(\large{\bbox[10px,border:2px solid black]{\cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1}}\)

 

Voir Triangles rectangles

 

 

Mais on peut aussi imaginer un cercle tel que :

  • le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \(\alpha\),
  • et le rayon \(r\) corresponde au coté adjacent du triangle rectangle

Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de \(r\) et de \(\alpha\) :

 

 

Par définition :

\(\large{\bbox[10px,border:2px solid black]{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}}\)

 

Voir Triangles rectangles

 

 

Angles associés

\(\cos(\alpha)\)

\(\sin(\alpha)\)

 

Voir Angles associés

 

 

 

Angles remarquables

Voir Angles remarquables

 

 

Donner les expressions, en fonction de \(r\) et \(\alpha\),  des longueurs des cotés rouges et verts des triangles rectangles ci-dessous :
Correction
\(\color{red}{r\cos(\alpha)}\)

\(\color{green}{r\sin(\alpha)}\)
\(\color{red}{r\cos(\alpha)}\)

\(\color{green}{r\sin(\alpha)}\)
\(\color{red}{r\sin(\alpha)}\)

\(\color{green}{r\cos(\alpha)}\)
\(\color{red}{r\cos(\alpha)}\)

\(\color{green}{r\sin(\alpha)}\)
\(\color{red}{r\sin(\alpha)}\)

\(\color{green}{r\cos(\alpha)}\)
En utilisant les propriétés des angles associés, simplifier les expressions ci-dessous :
\(\cos(\pi-\alpha)\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\) \(\sin\left(\pi-\alpha\right)\)
Correction
\(-\cos(\alpha)\) \(\sin\left(\alpha\right)\) \(\cos\left(\alpha\right)\) \(-\sin\left(\alpha\right)\) \(\sin\left(\alpha\right)\)
Déterminer le signe (>0 ou <0) de chacun des angles suivants, représentés dans la base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\) :
Correction
\(\alpha<0\) \(\beta<0\) \(\gamma<0\) \(\delta>0\) \(\epsilon<0\)

 

Application Géogebra

 

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