Dérivation – Intégration
Dérivation
Soit une grandeur \(x\) dépendant du temps \(t\) :
\(x\;:t\rightarrow x(t)\)
La valeur de la dérivée en un point d’une fonction \(x\;:t\rightarrow x(t)\) est égale à la variation infinitésimale de la grandeur \(x\) divisé par la durée infinitésimale \(\mathrm{d}t\) pendant laquelle elle a lieu.
Sa fonction dérivée est notée :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\dot x(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}}}\)
On peut dire que \(\mathrm{d}x(t_1)\) est la variation infinitésimale de \(x\) pendant une durée infinitésimale \(\mathrm{d}t\) à l’instant \(t_1\).
Soit une fonction \(x(t)\), représentée par la courbe ci-dessous :
Intégration bornée
Soit une grandeur \(v\) dépendant du temps \(t\) :
\(v\;:t\rightarrow v(t)\)
La valeur de l’intégrale entre deux instants d’une fonction \(v\;:t\rightarrow v(t)\) est égale à la surface située entre la courbe de cette fonction et l’axe des abscisses.
Son intégrale entre les instants \(t_1\) et \(t_2\) est notée :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{x=\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, \mathrm{d}t}}\)
La surface en dessous de l’axe des abscisses compte négativement.
Relations graphiques entre la courbes d’une fonction et celle de sa dérivée
La valeur de la dérivée en un point d’une fonction est égale à la de cette fonction en ce point.
L’intégrale entre deux points de la fonction dérivée est égale à la variation de valeur de cette fonction entre ces deux points.
Méthodes d’intégration numérique