Suspension d’automobile

\(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2}\)

Présentation

Suspension de la Ferrari F40
(source : http://www.smcars.net/threads/ferrari-f40.8630/)

La figure ci-dessous représente la suspension d’un demi train avant de véhicule automobile, dite « à triangles superposés ».


La suspension est constituée d’un triangle inférieur 1 et d’un triangle supérieur 2, lies à la caisse par deux liaisons sphériques de centres \(A\) et \(C\) et deux liaisons sphère-cylindre d’axes \((B,\vec y)\) et \((D,\vec y)\) respectivement. Le porte moyeu 3 a une liaison sphérique de centre \(F\) avec 2 et une autre liaison sphérique de centre \(G\) avec 1.

La biellette de direction, non représentée sur la figure, a une liaison sphérique de centre \(E\) avec 3, et exerce sur 3 une action mécanique représentée par la force \((E, F\vec x)\) . La barre de torsion d’axe \((O,\vec y)\) exerce sur le triangle inférieur une action mécanique représentée par le couple de moment \(C\vec y\).

La roue 4 a une liaison pivot d’axe \((K,\vec x)\) avec le porte moyeu 3 (le véhicule se déplace en ligne droite).

On suppose que toutes les liaisons définies jusqu’à présent sont sans frottements et que les pièces constituant la suspension sont de masses négligeables, ainsi que la roue.

L’action mécanique de la route sur la roue est représentée par la force \((H,\vec R)\) (le moment de roulement est négligé).

On pose : \(N=\vec z\cdot \vec R\) ,

Soit \(f\) le coefficient de frottement entre la roue et la route.

On donne, en millimètres, dans le repère \(R(O,\vec x,\vec y,\vec z)\) :

\(\overrightarrow{OA}=-100\vec y\)
\(\overrightarrow{OB}=200\vec y\)
\(\overrightarrow{OC}=50\vec x+400\vec z\)
\(\overrightarrow{CD}=200\vec y\)
\(\overrightarrow{OG}=350\vec x\)
\(\overrightarrow{CF}=200\vec x\)
\(\overrightarrow{FE}=150\vec y-150\vec z\)
\(\overrightarrow{GH}=50\vec x-150\vec z\)

On notera le torseur réduit en \(A\), de l’action mécanique de \(1\) sur \(2\) :

\(\{ \mathcal{T} (1\rightarrow 2) \}
={\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{array}{c}
\overrightarrow{R_{\mathcal{S}_1 \rightarrow \mathcal{S}_2}} \\
\overrightarrow{0}
\end{array} \right\}
={\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{P}}
\left\{ \begin{array}{c}
X_{12} \ L_{12}\\
Y_{12} \ M_{12}\\
Z_{12} \ N_{12}\\
\end{array} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)

Le véhicule étant dans une phase de freinage brusque, la roue se bloque, et glisse sur le sol, avec un coefficient de frottement noté \(f\).

La vitesse de glissement de la roue par rapport au sol est dirigée suivant \(-\vec y\). On considérera que l’ensemble 3\(\cup\)4 forme un solide unique. On donne \(N = 440\text{daN}\) , et \(f = 0,9\).

Travail demandé

Écrire le torseur statique transmissible par chacune des liaisons décrites ci-dessus, ainsi que le torseur de chacune des actions mécaniques extérieures.

Déterminer le nombre d’inconnues de liaisons, \(Is\), et le nombre d’équations \(Es\), que l’on peut écrire en appliquant le PFS aux différents ensembles de solides. En déduire \(h\), degré d’hyperstatisme.

Exprimer l’équilibre du triangle 2. On réduira les torseurs au point \(C\).

Exprimer l’équilibre du triangle 1. On réduira les torseurs au point \(A\).

Exprimer l’équilibre de l’ensemble 3\(\cup\)4. On réduira les torseurs au point \(G\).

Résoudre partiellement le système obtenu, afin de déterminer numériquement les actions mécaniques en \(C\) et \(F\).

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