Description du phénomène
Lié au phénomène de frottement, l’arc-boutement est utilisé en mécanique pour le fonctionnement de certains mécanismes : serre-joint, arrêt de porte, roue libre…
Pince à tôle
Perche de téléski
Coinceur d’escalade
Pour certaines applications l’arc-boutement, nuisible à un bon fonctionnement, est à éviter. C’est le cas des mécanismes avec coulisseau dont le mécanisme est excentré.
Définition
On dit qu’il y a arc-boutement à chaque fois que le phénomène d’adhérence créé une impossibilité de mouvement quelle que soit l’intensité des actions mécaniques mises en jeu.
Application Geogebra
Déplacer le point O et modifier les différents paramètres pour comprendre leur l’influence sur le phénomène…
Exercices
Potence
Un crochet peut être déplacé dans la rainure horizontale de la pièce (1) et sa position est repérée par la distance x.
Les frottements en A et B sont caractérisés par le coefficient de frottement f.
Isoler le système matériel 1 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures.
Correction
Le solide 1 est soumis à 3 forces :
- \(\overrightarrow{R_A}=-N_A\vec x+T_A\vec y\)
- \(\overrightarrow{R_B}=N_B\vec x+T_B\vec y\)
- \(\overrightarrow{P}=-P\vec y\)
\(N_A\), \(N_B\), \(T_A\), \(T_B\), et\(P\), sont des nombres positifs !
Faire l’hypothèse de l’équilibre de 1 et écrire les équations du Principe Fondamental de la Statique.
Correction
\(\begin{cases}
\overrightarrow{R_A}+\overrightarrow{R_B}+\overrightarrow{P}=\vec 0 \\
\overrightarrow{M_A\left(\overrightarrow{R_A}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(\overrightarrow{R_B}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(\overrightarrow{P}\right)}=\vec 0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-N_A+N_B=0\\
T_A+T_B-P=0\\
hN_B+aT_B-\left(x+\frac{a}{2}\right)P=0
\end{cases}\)
Nous avons 3 équations pour 4 inconnues : il faut faire une hypothèse supplémentaire !
En faisant l’hypothèse que les composantes de frottement des forces ont la même intensité, résoudre le système d’équations.
Correction
\(\begin{cases}
N_A=N_B\\
2T_A=P\\
h\;N_B+a\;T_A-\left(x+\frac{a}{2}\right)P=0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
T_A=\frac{P}{2}\\
N_B=\frac{x}{h}P\\
N_A=\frac{x}{h}P
\end{cases}\)
Donner la condition sur x permettant de confirmer l’hypothèse de l’équilibre.
Correction
L’équilibre n’est possible que s’il y a adhérence aux points \(A\) et \(B\) :
\(T_A < f\;N_A\) et \(T_B < f\;N_B\)
Soit :
\(\frac{P}{2}<f\frac{x}{h}P\)
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{x>\frac{h}{2f}}}\)
Faire l’application numérique pour a = 16, h = 16, d = 2 et f = 0,2
Refaire les calculs avec l’hypothèse \(T_A=0\). Conclure quant aux conditions pour lesquelles l’arc-boutement est possible.
Correction
On repart des équations issues du PFD :
\(\begin{cases}
N_A=N_B\\
2T_A=P\\
h\;N_B+a\;T_A-\left(x+\frac{a}{2}\right)P=0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
N_A=N_B\\
T_B=P\\
h\;N_B-\left(x+\frac{a}{2}\right)P=0
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
N_A=N_B\\
T_B=P\\
N_B=\frac{1}{h}\left(x+\frac{a}{2}\right)P
\end{cases}\)
L’équilibre n’est possible que s’il y a adhérence au point \(B\) :
\(T_B < f\;N_B\)
Soit :
\(P<\frac{f}{h}\left(x+\frac{a}{2}\right)P\)
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{x>\frac{h}{f}-\frac{a}{2}}}\)
Application Numérique :
\(x>\frac{16}{0,2}-\frac{16}{2}=72\;mm\)
Bonjour,
je vous remercie pour le travail effectué car c’est très ingénieux ce que vous démontré grâce à Géogebra.
Cependant il me semble que les actions en A et B doivent être représentées, pâr rapport à votre modèle, symétriquement par rapport à l’axe vertical pour être conforme …
Cordialement
Bonjour
Merci pour ce signalement !