Panoramique des Dômes
Le Panoramique des Dômes est un train à crémaillère permettant l’accès au sommet du Puy de Dôme (1464 m). La voie a une longueur de 5,3 km, dont 4,8 km sur crémaillère, avec une pente pouvant atteindre 15%.
Le dispositif de freinage qui équipe les rames est décrit sur le schéma ci-dessous : une bande s’enroule autour d’un tambour, solidaire de la roue dentée, et soumise à des efforts de traction \(\overrightarrow{T_b}\) et\(\overrightarrow{t_b}\), provocant un couple de frottement \(C_f\) sur le tambour.
La relation reliant les intensités de ces efforts est \(\frac{\|\overrightarrow{T_b}\|}{\|\overrightarrow{t_b}\|}={\rm e}^{f\cdot \theta}\) (avec \({\rm e}=2,718\) ou bien utiliser la fonction \(\exp()\) de la calculatrice).
Avec :
- \(f\) : coefficient de frottement bande/tambour
- \(\theta\) : angle d’enroulement de la bande (en radians)
Ces efforts sont dus à un vérin hydraulique (générant une force \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\)) et transmis par un renvoi 6, une bielle 7 et un levier 1.
Faire l’application numérique avec :
- \(f=0.35\)
- Caractéristiques du vérin pneumatique :
- Diamètre du piston : \(D=150\;\text{mm}\)
- Diamètre de la tige : \(d=22\;\text{mm}\)
- Course : \(c=50\;\text{mm}\)
- Pression d’alimentation : \(p =6\;\text{bars}\)
- Dimensions :
- \(AB = 570\;\text{mm}\)
- \(AC = AD = 85\;\text{mm}\)
- \(EF = FG\)
Faire l’application numérique avec : diamètre nominal de la roue dentée : \(d_r=650\;\text{mm}\)
Pour la suite de l’exercice, on prendra \(C_f=13000\;\text{Nm}\).
Faire l’application numérique avec :
- Masse de la rame : \(m = 58,5\;\text{t}\)
- Vitesse initiale de la rame : \(V = 25\;\text{km/h}\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9,81\;\text{m/s^2}\)
Effort exercé par le vérin : \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|=\|\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\|\).
On applique au vérin \(4+5\) le théorème de la résultante dynamique :
2 forces \(\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\) et \(\overrightarrow{F_{0\rightarrow 4}}\) directement opposées : direction \(\left(EH\right)\)
On applique au renvoi \(6\) le théorème du moment dynamique au point \(F\) :
\(\overrightarrow{M_F\left(\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\right)}+\overrightarrow{M_F\left(\overrightarrow{F_{7\rightarrow 6}}\right)}=\vec 0\)
\(\|\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\|\times EF=|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 6}}\|\times FG\)
\(\|\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\|=\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 6}}\|=\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\)
On applique à la bielle 7 le théorème de la résultante dynamique :
\(\overrightarrow{F_{6\rightarrow 7}}+\overrightarrow{F_{1\rightarrow 7}}=\vec 0\)
\(\|\overrightarrow{F_{1\rightarrow 7}}\|=\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\|=\|\overrightarrow{F_{6\rightarrow 7}}\|=\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\)
On applique au levier le théorème du moment dynamique au point \(A\) :
\(\overrightarrow{M_A\left(\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(-\overrightarrow{T_b}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(-\overrightarrow{t_b}\right)}=\vec 0\)
⇒ \(\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\|\times AB-\|\overrightarrow{T_b}\|\times AD-\|\overrightarrow{t_b}\|\times AC=0\)
⇒ \(\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\|\times AB-\|\overrightarrow{t_b}\|\cdot\exp^{f\theta}\times AD-\|\overrightarrow{t_b}\|\times AC=0\)
⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{\|\overrightarrow{t_b}\|=\frac{\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\times AB}{AC+\exp^{f\theta}\times AD}}\)
On applique à l’ensemble tambour+bande le théorème du moment dynamique au point \(O\) :
\(\overrightarrow{C_f}+\overrightarrow{M_O\left(-\overrightarrow{T_b}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(-\overrightarrow{t_b}\right)}=\vec 0\)
⇒ \(C_f+\|\overrightarrow{T_b}\|\times R-\|\overrightarrow{t_b}\|\times R=0\)
⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{C_f=R\left(\|\overrightarrow{T_b}\|-\|\overrightarrow{t_b}\|\right)}\)
Application numérique :
\(C_f=R\|\overrightarrow{t_b}\|\left(1-{\rm e}^{f\theta}\right)\)
\(C_f=R\frac{\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\times AB}{AC+{\rm e}^{f\theta}\times AD}\left(1-{\rm e}^{f\theta}\right)\)
Le vérin fonctionne en tirant ⇒ \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|=p\frac{\pi\left(D^2-d^2\right)}{4}\)
⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{C_f=12730\;\text{Nm}}\)
On applique à la roue dentée le théorème du moment dynamique au point \(O\) :
\(F_f\times\frac{d_r}{2}=C_f\)
⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{F_f=\frac{2C_f}{d_r}}\)
Application numérique :
\(\bbox[5px,border:2px solid black]{F_f=39160\;\text{N}}\)
On applique à la rame le principe fondamental de la dynamique (théorème de la résultante en projection sur l’axe de la voie) :
\(mg\sin\alpha-4F_f=ma\)
⇒ \(a=g\sin\alpha-\frac{4F_f}{m}\)
avec : \(\tan\alpha=\frac{15}{100}\)
donc \(\alpha=\arctan\frac{15}{100}=8,53° \)
Durée jusqu’à l’arrêt :
\(a=-\frac{V}{\Delta t}\) ⇒ \(\Delta t=-\frac{V}{|a|}\)
Distance parcourue jusqu’à l’arrêt : \(d=\frac{\frac{V}{|a|}\times V}{2}\)
\(\bbox[5px,border:2px solid black]{d=\frac{V^2}{2\left|g\sin\alpha-\frac{4F_f}{m}\right|}}\)
Application numérique :
\(\bbox[5px,border:2px solid black]{d=19,7\;\text{m}}\)