Panoramique des Dômes

Le Panoramique des Dômes est un train à crémaillère permettant l’accès au sommet du Puy de Dôme (1464 m). La voie a une longueur de 5,3 km, dont 4,8 km sur crémaillère, avec une pente pouvant atteindre 15%.

Le dispositif de freinage qui équipe les rames est décrit sur le schéma ci-dessous : une bande s’enroule autour d’un tambour, solidaire de la roue dentée, et soumise à des efforts de traction \(\overrightarrow{T_b}\) et\(\overrightarrow{t_b}\), provocant un couple de frottement \(C_f\) sur le tambour.

La relation reliant les intensités de ces efforts est \(\frac{\|\overrightarrow{T_b}\|}{\|\overrightarrow{t_b}\|}={\rm e}^{f\cdot \theta}\) (avec \({\rm e}=2,718\) ou bien utiliser la fonction \(\exp()\) de la calculatrice).

Avec :

  • \(f\) : coefficient de frottement bande/tambour
  • \(\theta\) : angle d’enroulement de la bande (en radians)

Ces efforts sont dus à un vérin hydraulique (générant une force \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\)) et transmis par un renvoi 6, une bielle 7 et un levier 1.

En indiquant précisément les théorèmes de la mécanique utilisés et les ensembles matériels isolés, montrer que \(\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow1}}\|=\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\).
 
En appliquant le principe fondamental de la dynamique au levier 1, déterminer l’expression de \(\|\overrightarrow{t_{b}}\|\) en fonction de \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\), de la géométrie du mécanisme et de \(f\) et \(\theta\).
 
En appliquant à l’ensemble tambour+bande le théorème du moment dynamique au point \(O\), donner l’expression du couple de freinage \(C_f\) en fonction de \(\|\overrightarrow{t_{b}}\|\) et \(\|\overrightarrow{T_{b}}\|\) et du rayon \(R\) du tambour (le moment d’inertie du tambour sera négligé).

Faire l’application numérique avec :

  • \(f=0.35\)
  • Caractéristiques du vérin pneumatique :
    • Diamètre du piston : \(D=150\;\text{mm}\)
    • Diamètre de la tige : \(d=22\;\text{mm}\)
    • Course : \(c=50\;\text{mm}\)
  • Pression d’alimentation : \(p =6\;\text{bars}\)
  • Dimensions :
    • \(AB = 570\;\text{mm}\)
    • \(AC = AD = 85\;\text{mm}\)
    • \(EF = FG\)

En appliquant à la roue dentée le théorème du moment dynamique au point \(O\), donner l’expression l’effort de freinage \(F_f\) que provoque le dispositif de freinage sur la rame du train, en fonction du couple de freinage \(C_f\) et du diamètre de la roue dentée \(d_r\).

Faire l’application numérique avec : diamètre nominal de la roue dentée : \(d_r=650\;\text{mm}\)

Pour la suite de l’exercice, on prendra \(C_f=13000\;\text{Nm}\).

Sachant qu’une rame possède 4 dispositifs de freinage, donner l’expression de la distance nécessaire à une rame, lancée à une vitesse \(V\), sur une pente descendante à 15%, pour s’arrêter (on appliquera à la rame le principe fondamental de la dynamique en projection sur l’axe de son mouvement).

Faire l’application numérique avec :

  • Masse de la rame : \(m = 58,5\;\text{t}\)
  • Vitesse initiale de la rame : \(V = 25\;\text{km/h}\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9,81\;\text{m/s^2}\)
Correction
Q1 :

Effort exercé par le vérin : \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|=\|\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\|\).

On applique au vérin \(4+5\) le théorème de la résultante dynamique :

2 forces \(\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\) et \(\overrightarrow{F_{0\rightarrow 4}}\) directement opposées : direction \(\left(EH\right)\)

On applique au renvoi \(6\) le théorème du moment dynamique au point \(F\) :

\(\overrightarrow{M_F\left(\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\right)}+\overrightarrow{M_F\left(\overrightarrow{F_{7\rightarrow 6}}\right)}=\vec 0\)

\(\|\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\|\times EF=|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 6}}\|\times FG\)

\(\|\overrightarrow{F_{5\rightarrow 6}}\|=\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 6}}\|=\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\)

On applique à la bielle 7 le théorème de la résultante dynamique :

\(\overrightarrow{F_{6\rightarrow 7}}+\overrightarrow{F_{1\rightarrow 7}}=\vec 0\)

\(\|\overrightarrow{F_{1\rightarrow 7}}\|=\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\|=\|\overrightarrow{F_{6\rightarrow 7}}\|=\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\)

Q2 :

On applique au levier le théorème du moment dynamique au point \(A\) :

\(\overrightarrow{M_A\left(\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(-\overrightarrow{T_b}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(-\overrightarrow{t_b}\right)}=\vec 0\)

⇒ \(\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\|\times AB-\|\overrightarrow{T_b}\|\times AD-\|\overrightarrow{t_b}\|\times AC=0\)

⇒ \(\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow 1}}\|\times AB-\|\overrightarrow{t_b}\|\cdot\exp^{f\theta}\times AD-\|\overrightarrow{t_b}\|\times AC=0\)

⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{\|\overrightarrow{t_b}\|=\frac{\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\times AB}{AC+\exp^{f\theta}\times AD}}\)

 

Q3 :

On applique à l’ensemble tambour+bande le théorème du moment dynamique au point \(O\) :

\(\overrightarrow{C_f}+\overrightarrow{M_O\left(-\overrightarrow{T_b}\right)}+\overrightarrow{M_A\left(-\overrightarrow{t_b}\right)}=\vec 0\)

⇒ \(C_f+\|\overrightarrow{T_b}\|\times R-\|\overrightarrow{t_b}\|\times R=0\)

⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{C_f=R\left(\|\overrightarrow{T_b}\|-\|\overrightarrow{t_b}\|\right)}\)

Application numérique :

\(C_f=R\|\overrightarrow{t_b}\|\left(1-{\rm e}^{f\theta}\right)\)

\(C_f=R\frac{\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\times AB}{AC+{\rm e}^{f\theta}\times AD}\left(1-{\rm e}^{f\theta}\right)\)

Le vérin fonctionne en tirant ⇒ \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|=p\frac{\pi\left(D^2-d^2\right)}{4}\)

⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{C_f=12730\;\text{Nm}}\)

 

Q5 :

On applique à la roue dentée le théorème du moment dynamique au point \(O\) :

\(F_f\times\frac{d_r}{2}=C_f\)

⇒ \(\bbox[5px,border:2px solid black]{F_f=\frac{2C_f}{d_r}}\)

Application numérique :

\(\bbox[5px,border:2px solid black]{F_f=39160\;\text{N}}\)

 

Q6 :

On applique à la rame le principe fondamental de la dynamique (théorème de la résultante en projection sur l’axe de la voie) :

\(mg\sin\alpha-4F_f=ma\)

⇒ \(a=g\sin\alpha-\frac{4F_f}{m}\)

avec : \(\tan⁡\alpha=\frac{15}{100}\)

donc \(\alpha=\arctan⁡\frac{15}{100}=8,53° \)

Durée jusqu’à l’arrêt :

\(a=-\frac{V}{\Delta t}\)  ⇒  \(\Delta t=-\frac{V}{|a|}\)

Distance parcourue jusqu’à l’arrêt : \(d=\frac{\frac{V}{|a|}\times V}{2}\)

\(\bbox[5px,border:2px solid black]{d=\frac{V^2}{2\left|g\sin\alpha-\frac{4F_f}{m}\right|}}\)

Application numérique :

\(\bbox[5px,border:2px solid black]{d=19,7\;\text{m}}\)

 

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