Panoramique des Dômes

Le Panoramique des Dômes est un train à crémaillère permettant l’accès au sommet du Puy de Dôme (1464 m). La voie a une longueur de 5,3 km, dont 4,8 km sur crémaillère, avec une pente pouvant atteindre 15%.

Le dispositif de freinage qui équipe les rames est décrit sur le schéma ci-dessous : une bande s’enroule autour d’un tambour, solidaire de la roue dentée, et soumise à des efforts de traction \(\overrightarrow{T_b}\) et\(\overrightarrow{t_b}\), provocant un couple de frottement \(C_f\) sur le tambour.

La relation reliant les intensités de ces efforts est \(\frac{\|\overrightarrow{T_b}\|}{\|\overrightarrow{t_b}\|}={\rm e}^{f\cdot \theta}\) (avec \({\rm e}=2,718\) ou bien utiliser la fonction \(\exp()\) de la calculatrice).

Avec :

  • \(f\) : coefficient de frottement bande/tambour
  • \(\theta\) : angle d’enroulement de la bande (en radians)

Ces efforts sont dus à un vérin hydraulique (générant une force \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\)) et transmis par un renvoi 6, une bielle 7 et un levier 1.

En indiquant précisément les théorèmes de la mécanique utilisés et les ensembles matériels isolés, montrer que \(\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow1}}\|=\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\).
 
En appliquant le principe fondamental de la dynamique au levier 1, déterminer l’expression de \(\|\overrightarrow{t_{b}}\|\) en fonction de \(\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\), de la géométrie du mécanisme et de \(f\) et \(\theta\).
 
En appliquant à l’ensemble tambour+bande le théorème du moment dynamique au point \(O\), donner l’expression du couple de freinage \(C_f\) en fonction de \(\|\overrightarrow{t_{b}}\|\) et \(\|\overrightarrow{T_{b}}\|\) et du rayon \(R\) du tambour (le moment d’inertie du tambour sera négligé).

Faire l’application numérique avec :

  • \(f=0.35\)
  • Caractéristiques du vérin pneumatique :
    • Diamètre du piston : \(D=150 mm\)
    • Diamètre de la tige : \(d=22 mm\)
    • Course : \(c=50mm\)
  • Pression d’alimentation : \(p =6bars\)
  • Dimensions :
    • \(AB = 570 mm\)
    • \(AC = AD = 85 mm\)
    • \(EF = FG\)

En appliquant à la roue dentée le théorème du moment dynamique au point \(O\), donner l’expression l’effort de freinage \(F_f\) que provoque le dispositif de freinage sur la rame du train, en fonction du couple de freinage \(C_f\) et du diamètre de la roue dentée \(d_r\).

Faire l’application numérique avec : diamètre nominal de la roue dentée : \(d_r=650 mm\)

Pour la suite de l’exercice, on prendra \(C_f=13000 Nm\).

Sachant qu’une rame possède 4 dispositifs de freinage, donner l’expression de la distance nécessaire à une rame, lancée à une vitesse \(V\), sur une pente descendante à 15%, pour s’arrêter (on appliquera à la rame le principe fondamental de la dynamique en projection sur l’axe de son mouvement).

Faire l’application numérique avec :

  • Masse de la rame : \(m = 58,5 t\)
  • Vitesse initiale de la rame : \(V = 25 km/h\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9,81 m/s^2\)
CORRECTION

En indiquant précisément les théorèmes de la mécanique utilisés et les ensembles matériels isolés, montrer que \(\|\overrightarrow{F_{7\rightarrow1}}\|=\|\overrightarrow{F_{vérin}}\|\).

Effort exercé par le vérin : ‖(F_vérin ) ⃗ ‖= ‖(F_(5→6) ) ⃗ ‖
On applique au vérin 4+5 le théorème de la résultante dynamique :

2 forces (F_(6→5) ) ⃗ et (F_(0→4) ) ⃗ directement opposées : direction (EH)
On applique au renvoi 6 le théorème du moment dynamique au point F :
(M_F ((F_(5→6) ) ⃗ ) ) ⃗+(M_F ((F_(7→6) ) ⃗ ) ) ⃗=0 ⃗

‖F_(5→6) ) ⃗ ‖×EF=‖(F_(7→6) ) ⃗ ‖×EG

‖(F_(5→6) ) ⃗ ‖=‖(F_(7→6) ) ⃗ ‖=‖(F_vérin ) ⃗ ‖
On applique à la bielle 7 le théorème de la résultante dynamique :
(F_(6→7) ) ⃗+(F_(1→7) ) ⃗=0

‖7) ) ⃗ ‖=‖(F_(7→1) ) ⃗ ‖=‖(F_(6→7) ) ⃗ ‖=‖(F_vérin ) ⃗ ‖

 

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *