Inertie d’un solide

L’inertie d’un système matériel, dans un référentiel galiléen, correspond à sa tendance à conserver sa vitesse.

Plus l’inertie d’un corps est grande. plus il est difficile de modifier son mouvement

L’inertie d’un solide dépend de la distribution de sa masse dans l’espace.

Donc de sa masse et de sa géométrie pour un solide homogène (de masse volumique partout égale).

 

Cas d’un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Le moment d’inertie d’un solide \(S\) autour d’un axe fixe \(\Delta\) est une grandeur scalaire notée \(I_\Delta\), exprimée en [kg.m²] qui caractérise la difficulté à modifier sa vitesse de rotation.

Voir aussi l’énoncé du Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à un solide en rotation autour d’un axe fixe.

Ce nombre, propre au solide, dépend de l’axe \(\Delta\) de son mouvement de rotation, ainsi que de la distribution de sa masse autour de cet axe.

Lequel de ces mouvements est le plus difficile à créer ?

Mouvement 1

Mouvement 2

Vérifier

 

 

Moments d’inertie des principaux volumes simples

Cylindre	Tube	Parallélépipède	Sphère	Tige
\(I_{Gx}=I_{Gy}=\frac{mR^2}{4}+\frac{ml^2}{12}\) \(I_{Gz}=\frac{mR^2}{2}\)	\(I_{Gx}=I_{Gy}=\frac{m\left(R^2+r^2\right)}{4}\frac{ml^2}{12}\) \(I_{Gz}=\frac{m\left(R^2+r^2\right)}{2}\)	\(I_{Gx}=\frac{m\left(a^2+l^2\right)}{12}\) \(I_{Gy}=\frac{m\left(b^2+l^2\right)}{12}\) \(I_{Gz}=\frac{m\left(a^2+b^2\right)}{12}\)	\(I_{Gx}=I_{Gy}=I_{Gz}=\frac{2mR^2}{5}\)	\(I_{Gx}=I_{Gy}=\frac{ml^2}{12}\) \(I_{Gz}\approx 0\)

 

 

 

Cas général

Afin de représenter entièrement l’inertie d’un solide, on utilise un objet plus complexe qu’un simple scalaire : un tenseur d’inertie.

Ce tenseur se présente comme une matrice 3×3 dont les éléments sont des nombres (exprimés en [kg.m²]).

Ainsi le tenseur d’inertie d’un solide \(S\) par rapport à un point \(O\) et exprimé dans une base \((\vec x,\vec y,\vec z)\) est de la forme :

\(\overline{\overline{I}}(S,O)=
\left(\begin{matrix}
I_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz} \\
-I_{xy} & I_{Oy} & -I_{yz} \\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_{Oz} \\
\end{matrix}\right)
\)

\(I_{Ox}\), \(I_{Ox}\), \(I_{Ox}\) sont les moments d’inertie de \(S\) par rapport aux axes \((O,\vec x)\), \((O,\vec y)\) et \((O,\vec z)\)

\(I_{xy}\), \(I_{xz}\) et \(I_{yz}\) sont les produits d’inertie de \(S\) par rapports aux plans \((\vec x,\vec y)\), \((\vec x,\vec z)\) et \((\vec y,\vec z)\).

 

Si ce tenseur est unique pour un même solide, les valeurs de ses éléments dépendent du repère choisi pour l’écrire.

 

Axes principaux d’inertie

Il existe toujours un système d’axe tel que la matrice d’inertie d’un solide soit diagonale :

\(\overline{\overline{I}}(S,G)=
\left(\begin{matrix}
I_{Gx} & 0 & 0 \\
0 & I_{Gy} & 0 \\
0 & 0 & I_{Gz} \\
\end{matrix}\right)
\)

De tels axes sont dits axes principaux d’inertie. et se croisent au centre de gravité \(G\) du solide.

Les moments d’inertie correspondants sont appelés moments principaux d’inertie.

 

Détermination des moments principaux d’inertie

Le calcul des moments principaux d’inertie d’un solide peut s’avérer très complexe, car ils dépendent de sa géométrie, des différences de masses volumiques des matériaux, …

Les logiciels de modélisation volumique réalisent des calculs pour déterminer cette matrice d’inertie.

Exemple avec Onshape

Onshape propose un outil de calcul des propriétés de masse des pièces d’un modèle (en bas à droite de l’écran).

Il calcule la matrice d’inertie au centre de gravité du solide (appelé barycentre), exprimée dans la base du repère global.

Il ne donne pas les axes principaux d’inertie, et ne calcule donc pas non plus les moments principaux d’inertie.

 

Dans l’exemple choisi, le smartphone étant orienté selon les axes du repère global,on constate que les produit d’inertie sont très petits devant les moment d’inertie. Cela signifie que les axes principaux d’inertie sont très proches de \((G,\vec x)\), \((G,\vec y)\) et \((G,\vec z)\).