Station de radiologie

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La station de radiologie AFM est utilisée dans les hôpitaux pour réaliser des radiographies de toutes les parties du corps humain. Le patient est allongé sur la table d’examen. Un arceau déplace l’émetteur de rayons X et le récepteur d’images autour du malade.

Le récepteur d’images peut se déplacer le long de l’axe X sur une course de 450mm grâce à un dispositif appelé ascenseur.

Extrait du cahier des charges :

  • Vitesse maximale du déplacement: \(V_{max}=75\;\text{mm/s}\)
  • Précision du déplacement désirée : \(e=2\;\mu\text{m}\)

Codeurs disponibles : 200, 500, 1000, 2000, 2500 points

Caractéristiques des composants de transmission :

  • Système Poulies/Courroie :
    • courroie crantée
    • nombre de dents des poulies \(Z_m=17\) et \(Z_v=45\)
      (pour un système de poulies/courroie crantées, le rapport de transmission se calcule avec les nombres de dents des poulies et non leurs diamètres)

  • Système Vis/Écrou :
    • écrou à billes
    • pas \(p=5\;\text{mm}\)

 

Travail demandé

Sur le schéma ci-dessus, repérer le codeur et placer (flèches) les vitesses angulaires \(\omega_v\) (vis) et \(\omega_m\) (moteur) et la vitesse linéaire du chariot \(v\).

 

Donner les expressions des relations de comportement du système Poulies/Courroie puis Vis/Écrou, en « vitesse » (voir cours). En déduire les mêmes relations, mais en « déplacement » (angulaire : \(\Delta\theta_v\) et \(\Delta\theta_m\); ou linéaire \(\Delta x\))
CORRECTION

Comportement des composants :

  • Vis/écrou : \(\Delta x=\frac{p}{2\pi}\Delta\theta_v\)
  • Poulies/Courroie : \(\frac{\Delta\theta_v}{\Delta\theta_m}=\frac{Z_m}{Z_v}\)

 

Exprimer puis calculer numériquement le nombre minimal de points que doit posséder le codeur pour obtenir la précision souhaitée.
CORRECTION

Pour obtenir la précision \(e=\Delta x\), il faut :

\(\Delta x=\frac{p}{2\pi}\Delta\theta_v=\frac{p}{2\pi}\frac{Z_m}{Z_v}\Delta\theta_m\)

On en déduit :

\(\Delta\theta_m=e\frac{2\pi}{p}\frac{Z_v}{Z_m}\)

Le nombre de points que doit avoir le codeur s’exprime alors :

\(N_p=\frac{2\pi}{\Delta\theta_m}=\frac{p}{e}\frac{Z_m}{Z_v}\)

Application numérique :

\(\Delta\theta_m=2\cdot10^{-3}\frac{2\pi}{5}\frac{45}{17}=6,65\cdot10^{-3}\;\text{rad}\)

\(N_p=\frac{5}{2\cdot 10^{-3}}\frac{17}{45}=944,4\)

Soit au minimum \(N_p=945\) points !

 

Choisir un codeur parmi ceux disponibles.
CORRECTION

On choisit le premier codeur possédant plus de 945 points, soit le modèle à 1000 points !

 

En déduire la précision effectivement obtenue à l’aide de ce codeur.
CORRECTION

\(e=\frac{p}{2\pi}\Delta\theta_v=\frac{p}{2\pi}\frac{Z_m}{Z_v}\Delta\theta_m\)

Application numérique :

\(e=\frac{5}{2\pi}\frac{17}{45}\Delta\theta_m\)

 

Exprimer puis calculer numériquement la fréquence de fonctionnement du codeur.
CORRECTION

\(V=\frac{p}{2\pi}\omega_v\)

\(\frac{\omega_v}{\omega_m}=\frac{Z_m}{Z_v}\)

Fréquence de rotation : \(f_r=\frac{\omega_m}{2\pi}\) [tr/s]

Fréquence du signal : \(f_s=\frac{\omega_m}{2\pi}N_p\) [impulsions/s]

\(f_s=\frac{1}{2\pi}\frac{Z_v}{Z_m}\omega_vN_p=\frac{1}{2\pi}\frac{Z_v}{Z_m}V\frac{2\pi}{p}N_p=\frac{Z_v}{Z_m}\frac{V}{p}N_p\)

Application numérique :

\(f_s=\frac{45}{17}\frac{75}{5}\times1000=39,7\;\text{kHz}\)

 

 

 

 

 

 

 

D’après BTS CPI 2006

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