Génératrice tachymétrique

Mesure de vitesse angulaire

On souhaite contrôler la vitesse angulaire d’un ventilateur destiné au refroidissement d’un local, avec les exigences de mesure suivantes :

  • Précision : ±2%
  • Étendue de la mesure : 1000 à 9000 tr/min

On décide d’utiliser une génératrice tachymétrique pour la mesure, et un microcontrôleur Arduino pour le conditionnement.

La génératrice tachymétrique est en fait un moteur à courant continu utilisé et mode générateur de tension. Ses caractéristiques sont données ci-dessous :

Le convertisseur Analogique/Numérique de l’Arduino possède les caractéristiques suivantes :

  • Plage de tension : 0V à 5V
  • Échantillonnage : 10 bits

 

Travail demandé

Calculer la constante de force contre électromotrice \(K_E\) de la génératrice.
CORRECTION

\(\begin{cases} U=K_E\cdot\omega_1 +R\cdot I_1\\ U=K_E\cdot\omega_2 +R\cdot I_2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} U\cdot I_2=K_E\cdot\omega_1\cdot I_2 +R\cdot I_1\cdot I_2\\ U\cdot I_1=K_E\cdot\omega_2\cdot I_1 +R\cdot I_1\cdot I_2 \end{cases}\)

\(U(I_2-I_1)=K_E(\omega_1\cdot I_2 -\omega_2\cdot I_1)\)

\(K_E=\frac{U(I_2-I_1)}{\omega_1\cdot I_2 -omega_2\cdot I_1}=\frac{5(0,91-0,066)}{13800\times 0,91}=3,36\cdot10^{-4}\text{V/(tr/min)}\)

 

Donner l’expression littérale de la tension \(U\) aux bornes de la génératrice en fonction de la vitesse angulaire \(\omega\) de son arbre.
CORRECTION
\(U=K_E\cdot\omega +R\cdot I\)

Or en mode génératrice, le courant \(I\) est nul : \(U=K_E\cdot\omega\)

 

Calculer l’étendue des valeurs que peut prendre la tension \(U\) à partir de l’étendue des mesures de vitesse angulaire à réaliser.
CORRECTION

\(U_{min}=K_E \omega_{min}=3,36\cdot 10^{-4}\times 1000=0,337 \text{V}\)
\(U_{max}=K_E \omega_{max}=3,36\cdot 10^{-4}\times 9000=3,03 \text{V}\)

 

En déduire la plage de valeurs possibles en sortie du convertisseur Analogique/Numérique, ainsi que le nombre de valeurs possibles.
CORRECTION

\(10 bits \rightarrow 2^{10}=1024 points\)

  • \(0V \rightarrow N=0\)
  • \(0,337V \rightarrow N=1024/5\times 0,337=69\)
  • \(3,03V \rightarrow N=1024/5\times 3,03=620\)
  • \(5V \rightarrow N=1024\)

Soit 552 points

 

Exprimer l’erreur de quantification \(\varepsilon_{q}\), due à la conversion A/N, et faire l’application numérique.
CORRECTION

Résolution numérique : \(1\rightarrow dU=\frac{5}{1024}=0,0049\;\text{V}=4,9\;\text{mV}\)

\(U=K_E\cdot\omega\)

Écart sur \(\omega\) (erreur de quantification) : \(\varepsilon_q=d\omega=\frac{dU}{K_E}=14,5\;\text{tr/min}\)

 

Exprimer cette erreur de quantification en pourcentage de la vitesse angulaire \(\omega\) (on la notera \(\varepsilon_{q\%}(\omega)\)). Pour quelle valeur de \(\omega\) cette erreur est-elle maximale ? Faire l’application numérique et conclure quant au respect du cahier des charges.
CORRECTION

\(\varepsilon_{q\%}(\omega)=\frac{\varepsilon_q}{\omega}\times 100\)

\(\varepsilon_{q\%}\) est maximum pour \(\omega\) minimum, soit \(\omega=1000\;\text{tr/min}\)

\(\varepsilon_{q\%}=\frac{14,5}{1000}\times 100=1,45 \%\)

\(1,45 \%<2\% \Rightarrow\) le CdCF est respecté

 

On désire également afficher la vitesse angulaire sur un écran de contrôle de type écran LCD.

Compléter le programme ci-dessous avec la formule permettant d’obtenir la valeur de la vitesse angulaire omega (en tr/min) en fonction du nombre N obtenu à l’issue de la conversion A/N.
#include <LiquidCrystal.h>

// initialisation de l'afficheur LCD
LiquidCrystal lcd(12, 11, 5, 4, 3, 2);

void setup() {
   lcd.begin(16, 2);
   Serial.begin(9600);
}

void loop() {
   int N = analogRead(A0);
   float omega = ......... ;
   lcd.clear();
   lcd.print(omega);
   delay(1000);
}
CORRECTION
float omega = N*5/1023/3.36e-4;

En plus de l’erreur de quantification, la tension fournie par la génératrice est sensible à de nombreux autres facteurs (température, perturbations électromagnétique, …), si bien qu’une erreur de répétabilité de ±1% est à rajouter.

Il est donc envisagé d’utiliser une génératrice permettant de mieux exploiter les capacités du convertisseur A/N :

Calculer la nouvelle étendue des valeurs que peut prendre la tension \(U\).

 

Pour la suite, on prendra \(U_{max}=10\;\text{V}\).

 

La tension fournie étant incompatible avec le convertisseur A/N de l’Arduino, il faut utiliser un pont diviseur de tension.

Faire un schéma électrique du montage et calculer les valeurs des résistances permettant d’obtenir la division souhaitée, tout en limitant le courant traversant le pont à 1 mA.

 

Exprimer l’erreur de quantification \(\varepsilon_{q}\), due à la conversion A/N, et faire l’application numérique (attention à bien prendre en compte la présence du pont diviseur de tension !).
Exprimer cette erreur de quantification en pourcentage de la vitesse angulaire \(\omega\) (on la notera \(\varepsilon_{q\%}(\omega)\)). Pour quelle valeur de \(\omega\) cette erreur est-elle maximale ? Faire l’application numérique.

 

Ajouter à l’erreur de quantification l’ erreur de répétabilité. Conclure quant au respect du CdCF.

 

 

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