Systèmes dynamiques

Comportement dynamique

d’un système linéaire, continu et invariant

Un système dynamique est un système physique dont l’état (ensemble des grandeurs suffisant à qualifier le système) évolue en fonction du temps. L’étude de l’évolution d’un système dynamique nécessite donc la connaissance :

  • de son état initial : valeurs de ses grandeurs caractéristiques à l’instant initial de l’étude.
  • de sa loi d’évolution : équations différentielles reliant ses grandeurs caractéristiques.

Ses grandeurs caractéristiques sont donc des grandeurs physiques fonctions du temps.

exemples : position x(t), température θ(t), …

Un système dynamique peut être vu comme un processus transformant un signal d’entrée en un signal de sortie.

Dans le cas général un système peut posséder plusieurs entrées (causes) et plusieurs sorties (effets).

Système linéaire

système dont les grandeurs caractéristiques sont liées par des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Conséquences :

  • Principe de proportionnalité :

 

  • Principe de superposition :

 

 

Système continu

système dont les grandeurs caractéristiques évoluent continument dans le temps.
Les variations des grandeurs physiques sont définies à chaque instant (elles sont caractérisées par des fonctions continues)

Système invariant

système dont la loi d’évolution ne change pas au cours du temps.

C’est vrai si on suppose que les grandeurs caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, …) ne varient pas au cours du temps

 

Ordre d’un système

Avec les hypothèses précédentes, l’application des lois de la physique conduisent à la modélisation d’un système par un système d’équations différentielles de la forme :

\(\large{a_0\;\color{#00F}{e(t)}+a_1\frac{\mathbb{d}\color{#00F}{e(t)}}{\mathbb{d}t}+…+a_n\frac{\mathbb{d}^n\color{#00F}{e(t)}}{\mathbb{d}t^n}=b_0\;\color{#F00}{s(t)}+b_1\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t}+…+b_m\frac{\mathbb{d}^m\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t^m}}\) \(m\) est l’ordre du système.

Remarque : on a toujours \(m\geq n\) (dans le cas contraire, il ne pourrait pas s’agir de la modélisation d’un système physique).

Parmi les systèmes d’ordres 1 et 2 on distingue :

  • systèmes du 1er ordre : \(\large{\color{#00F}{e(t)}=b_0\;\color{#F00}{s(t)}+b_1\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t}}\)
  • systèmes du 2nd ordre : \(\large{\color{#00F}{e(t)}=b_0\;\color{#F00}{s(t)}+b_1\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t}+b_2\frac{\mathbb{d}^2\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t^2}}\)

Remarque : plus l’ordre du modèle est élevé, plus la modélisation est « fine ».

 

Systèmes du 1er ordre

Un système est du 1er ordre s’il peut être modélisé par une équation différentielle du type :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{#00F}{G\;e(t)}=\tau\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t}+\color{#F00}{s(t)}}}\)

\(\large{G}\) est appelé gain du système (unité de \(\frac{s(t)}{e(t)}\))
\(\large{\tau}\) est la constante de temps du système (unité : s)

 

Systèmes du 2nd ordre

Un système est du 2nd ordre s’il peut être modélisé par une équation différentielle du type :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{#00F}{G\;e(t)}=\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{\mathbb{d}^2\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t^2}+\frac{2z}{\omega_0}\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{s(t)}}{\mathbb{d}t}+\color{#F00}{s(t)}}}\)

\(\large{G}\) est appelé gain du système (unité de \(\frac{s(t)}{e(t)}\))
\(\large{\omega_0}\) est la pulsation propre du système (unité : rad/s)
\(\large{z}\) est le coefficient d’amortissement du système (sans unité)

 

Analyse temporelle

Réponse indicielle

Le moyen le plus courant de tester le comportement temporel d’un système est de le soumettre (lors d’un essai ou bien d’une simulation) à une consigne en échelon.

Sa réponse (l’évolution de la grandeur de sortie) s’appelle alors la réponse indicielle.

Elle n’est jamais parfaitement égale à la consigne, et l’étude de son évolution permet d’identifier les paramètres du modèle du système.

 

 

Réponse indicielle d’un système du 1er ordre

Caractères remarquable de la réponse :

  • \(\color{#F00}{s(t)}\) possède un asymptote horizontale pour \(t \rightarrow \infty\) ;
  • \(\color{#F00}{s(t)}\) possède une tangente oblique à l’origine, qui croise son asymptote à \(t=\tau\).

Remarques :

  • \(\color{#F00}{s(t)}\) ne dépasse jamais son asymptote ;
  • \(\tau\) donne une indication sur la rapidité du système ;
  • La réponse indicielle a pour équation : \(\color{#F00}{s(t)}=G\;E(1-e^{\frac{-t}{\tau}} )\)

 

Réponse indicielle d’un système du 2nd ordre

Régimes :

  • \(z>1\) : régime apériodique ou régime amorti
  • \(z=1\) : régime critique
  • \(z<1\) : régime oscillant

Remarques :

  • la réponse présente une tangente à l’origine horizontale ;
  • en régimes apériodique et critiques, \(\color{#F00}{s(t)}\) ne dépasse pas son asymptote, contrairement au régime oscillant.

Analyse fréquentielle

Pour caractériser un système linéaire, on lui applique un signal sinusoïdal pur de pulsation \(\omega\) et d’amplitude \(E_0\) : \(e(t)=E_0\;sin⁡\omega t\) (avec \(\omega\) en rad/s)

On démontre que le signal de sortie en régime permanent, est un signal sinusoïdal pur de même pulsation \(\omega\) et d’amplitude \(S_0\) : \(s(t)=S_0\;sin⁡(\omega t+\phi)\).

  • \(\phi\) est le déphasage ou phase du système : \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\phi=\Delta t\cdot \omega}}\) (unité : rad)
  • \(G\) est le gain (ou rapport d’amplitude) du système : \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{G=\frac{S_0}{E_0}}}\)
    (unité de \(\frac{s(t)}{e(t)}\))

Diagrammes de Bode

Gain et déphasage dépendent de la pulsation d’excitation \(\omega\).

Afin de représenter cette dépendance, on utilise 2 diagrammes, appelés diagrammes de Bode, qui représentent :

  • le gain \(G_{dB}\) (en décibel : dB)
  • et la phase \(\phi\) (en rad)

en fonction de \(\omega\) (en rad/s – sur une échelle logarithmique).

Les échelles de variation des gains sont si étendus qu’il est préférable de les faire figurer en décibels (dB) : \(G_{dB}=20 log⁡ G\)

Systèmes du 1er ordre


Systèmes du 2nd ordre

Régime oscillant

Régime apériodique

Identification des paramètres avec un système linéaire d’un ordre donné

Lorsque les équations de comportement d’un système sont inconnues à priori (on ne sait pas précisément comment il est constitué, ou bien les équations sont trop compliquées à établir), on peut néanmoins obtenir les équations d’un modèle acceptable par identification :

Analyse temporelle

  1. On soumet le système à un échelon
  2. On mesure sa réponse indicielle
  3. Par interpolation, on trouve la réponse du système d’ordre donné la plus proche
  4. On identifie les paramètres (\(\tau\) ou \(z\) et \(\omega_0\))

Analyse fréquentielle

  1. On soumet le système à des oscillations de fréquence variable
  2. On mesure le gain et le déphasage de sa réponse
  3. On trace les diagrammes de Bode de cette réponse
  4. On identifie les paramètres (\(\tau\) ou \(z\) et \(\omega_0\))

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