Modélisation du frottement
Objectif : modéliser les actions mécaniques dans une liaison non parfaite.
On doit la modélisation proposée ici à Charles Coulomb (XVIIIe siècle).
Si les vis de fixation restent serrées, le clou en place, les échelles debout et les voitures sur la route, c’est grâce au frottement.
C’est aussi sur ce phénomène que repose le fonctionnement des freins et des embrayages.
Liaison non parfaite et action mécanique de frottement
Une liaison non parfaite entre deux solides \(S_1\) et \(S_2\) se caractérise par une ou plusieurs composantes d’action mécanique supplémentaires appelées composantes de frottement.
Exemple : liaison sphère-plan de normale \((A,\vec z)\) avec composantes frottement :
\(
{\vphantom{\left\{
\begin{array}{ccc}
\\
\\
\\
\end{array}
\right\}}}_{\mbox{A}}
\left\{ \begin{matrix}{}
\color{red}{X_{12}} & 0\\
\color{red}{Y_{12}} & 0\\
Z_{12} & 0\\
\end{matrix} \right\}_{\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)}
\)
On observe que la résultante n’est plus purement normale, comme c’est le cas dans la liaison parfaite.
\(\color{red}{X_{12}}\) et \(\color{red}{Y_{12}}\) sont des composantes dues au frottement
Une action mécanique de frottement s’oppose toujours au mouvement, effectif ou attendu.
Les sens des composantes de frottement sont tels qu’elles s’opposent à la composante de mouvement « associée » dans la liaison.
Causes du phénomène de frottement
La nature du contact (ponctuel, linéique ou surfacique) est une vision mathématique (théorique) du contact.
Dans la réalité, les surfaces des solides en contact ne sont pas parfaites, ni par leur forme ni par leur état de surface (rugosité). De plus les solides se déforment sous l’effet des actions mécaniques.
Par exemple, si on met en contact une sphère sur un plan, les efforts provoquent une déformation locale de la matière :
Ainsi, même les objets polis, qui semblent parfaitement lisses, présentent de minimes irrégularité : c’est la rugosité.
Les plus hauts points de ces irrégularités, les aspérités, représentent souvent une très faible proportion de la surface totale. C’est cette petite partie, appelée aire de contact réelle, qui est véritablement en contact avec une autre surface et qui cause le frottement
Frottement SEC : lois de Coulomb
Définissons en chaque point \(P\) de la surface de contact \(\mathcal{S}\) entre \(S_1\) et \(S_2\), un plan tangent noté \(\mathcal{P}\).
Dans le cas de liaisons non parfaites, apparaît une composante supplémentaire dans l’action mécanique surfacique de contact (\(\overrightarrow{f_{P(S_1\rightarrow S_2)}}\)) entre les deux solides \(S_1\) et \(S_2\), une force de frottement contenue dans le plan \(\mathcal{P}\).
On pose : \(\overrightarrow{f_{P(S_1\rightarrow S_2)}}=\overrightarrow{n_{P(S_1\rightarrow S_2)}}+\overrightarrow{t_{P(S_1\rightarrow S_2)}}\), avec :
- \(\overrightarrow{n_{P(S_1\rightarrow S_2)}}\) normale au plan \(\mathcal{P}\)
- \(\overrightarrow{t_{P(S_1\rightarrow S_2}}\) parallèle (ou tangent) au plan \(\mathcal{P}\)
Ces composantes d’actions de frottement se retrouvent dans l’expression globale (résultante) de l’action mécanique de \(S_1\) sur \(S_2\) :
\(\overrightarrow{R_{S_1\rightarrow S_2}}=\displaystyle \int_{P\in\mathcal{S}} \overrightarrow{f_{P(S_1\rightarrow S_2)}} \, \mathrm{d}\mathcal{S}=\displaystyle \int_{P\in\mathcal{S}} \overrightarrow{n_{P(S_1\rightarrow S_2)}}+\overrightarrow{t_{P(S_1\rightarrow S_2)}} \, \mathrm{d}\mathcal{S}=\overrightarrow{N_{S_1\rightarrow S_2}}+\overrightarrow{T_{S_1\rightarrow S_2}}\)
Énoncé des lois de Coulomb
Cas du glissement
Si \(\overrightarrow{V_(P\in S_2/\rightarrow S_1}\neq\vec 0\) alors Il y a glissement en \(P\) entre \(S_1\) et \(S_2\).
\(\overrightarrow{V_(P\in S_2/\rightarrow S_1}\) est appelée vitesse de glissement de \(S_2\) par rapport à \(S_1\).
Dans ce cas, la force de frottement \(\overrightarrow{T_{S_1\rightarrow S_2}}\) est :
- colinéaire et de sens opposé à la vitesse de glissement \(\overrightarrow{V_(P\in S_2/\rightarrow S_1}\)
- d’intensité proportionnelle à la composante normale de l’action de contact :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\|\overrightarrow{T_{S_1\rightarrow S_2}}\|=f\times \|\overrightarrow{N_{S_1\rightarrow S_2}}\|}}\)
\(f\) est appelé coefficient (ou facteur) de frottement sec.
Ce coefficient indépendant de la vitesse de glissement !
On définit l’angle \(\varphi\) tel que \(f=\tan \varphi\), ce qui permet de placer \(\overrightarrow{R_{S_1\rightarrow S_2}}\) sur la surface d’un cône de sommet \(P\), d’axe normal au plan \(\mathcal{P}\), et de demi-angle au sommet \(\varphi\), appelé cône de frottement.
\(\varphi\) est appelé angle de frottement.
Cas de l’adhérence
Si \(\overrightarrow{V_(P\in S_2/\rightarrow S_1}=\vec0\) alors Il y a adhérence en \(P\) entre \(S_1\) et \(S_2\).
\(\overrightarrow{R_{S_1\rightarrow S_2}}\) est alors à l’intérieur d’un cône appelé cône d’adhérence et est :
- colinéaire et de sens opposé à l’action qui tend à créer un mouvement relatif
- d’intensité égale à celle de l’action qui tend à créer ce mouvement relatif, en respectant la l’inégalité :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\|\overrightarrow{T_{S_1\rightarrow S_2}}\|<f_0\times \|\overrightarrow{N_{S_1\rightarrow S_2}}\|}}\)
Le coefficient d’adhérence \(f_0=\tan \varphi_0\) a en général une valeur légèrement supérieure au coefficient de frottement \(f\).
Cette différence explique les phénomènes de « grincement » (« stick-slip ») !
En pratique, cette différence est souvent négligeable.
Quelques valeurs de coefficients de frottement
| Couple de matériaux en contact | \(f\) | |
|---|---|---|
| acier | glace mouillée | 0,01 |
| acier | PTFE (téflon) | 0,05 |
| bronze | acier | 0,1 |
| acier | acier | 0,15 |
| bronze | bronze | 0,2 |
| acier | garniture de friction (frein, embrayage,…) | 0,2 à 0,4 |
| pneu | chaussée | 0,2 à 2 |
Il faut noter que le coefficient de frottement \(f\) est caractéristique du couple de matériaux constituant les solides en contact, ainsi que de leurs états de surface (rugosité), et des conditions de lubrification.
Au delà de certaines conditions de lubrification, les lois de Coulomb ne s’appliquent plus (non linéarité) et il faut faire appel à de plus précises lois de la tribologie (science du frottement)
Animation interactive du phénomène de frottement SEC
Faire glisser les flèches représentant les forces pour modifier leur intensité …
Frottement VISQUEUX (ou frottement FLUIDE)
Dans certaines conditions de lubrification des surfaces en contact (interposition de fluide – huile – entre les surfaces solides), le coefficient de frottement dépend de la vitesse de glissement.
Pour une viscosité du lubrifiant et une pression de contact données, ce coefficient suit une évolution décrite par la courbe de Stribeck :
- Lubrification limite : les surfaces solides sont en contact direct, la charge est supportée principalement par les aspérités de la surface, le frottement est élevé.
- Lubrification mixte : contact entre les aspérités, charge supportée à la fois par les aspérités et par le lubrifiant liquide.
- Lubrification hydrodynamique : contact négligeable entre les aspérités, charge supportée principalement par la pression créée par le mouvement (pression hydrodynamique).
En phase de lubrification hydrodynamique, on peut parfois adopter un modèle linéaire (facilitant ainsi les calculs) : la composante de frottement de l’action mécanique de contact \(\overrightarrow{T_{S_1\rightarrow S_2}}\) est alors :
- colinéaire et de sens opposé à la vitesse de glissement \(\overrightarrow{V_(P\in S_2/\rightarrow S_1}\)
- d’intensité proportionnelle à la vitesse de glissement \(\overrightarrow{V_(P\in S_2/\rightarrow S_1}\) :
\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\|\overrightarrow{T_{S_1\rightarrow S_2}}\|=k\times \|\overrightarrow{V_(P\in S_2/\rightarrow S_1}\|}}\)
\(k\) est appelé coefficient de frottement visqueux.
Il dépend des matériaux et des conditions de lubrification.