Panier de Basket

Un panier de basket, conformément à la réglementation officielle, se situe à une hauteur de \(h=3,05\;\text{m}\) du sol.

Un joueur vient de marquer un panier et ce faisant, exercer sur le cercle du panier une force \(\vec F\), de norme \(F=1400\;\text{N}\).

Écrire \(\vec F\) comme la somme de ses composantes dans la base \(\left(\vec x, \vec y, \vec z\right)\), en fonction de \(F\) et \(\alpha\) (expression littérale).
Correction

\(\vec F=-F\left(\sin{\alpha}\;\vec x+\cos{\alpha}\;\vec y\right)\)

 

Exprimer littéralement les moments en A, B, C et D de \(\vec F\) (sous forme vectorielle), en fonction de \(F\), \(a\), \(b\), \(c\), \(h\) et \(\alpha\).
Correction

On utilise le théorème de varignon :

\(\overrightarrow{M_A\left(\vec F\right)}=-b\cdot F\cos{\alpha}\;\vec z\)

\(\overrightarrow{M_B\left(\vec F\right)}=F\left(-c\sin{\alpha}-b\cos{\alpha}\right)\vec z\)

\(\overrightarrow{M_C\left(\vec F\right)}=F\left(-c\sin{\alpha}-\left(a+b\right)\cos{\alpha}\right)\vec z\)

\(\overrightarrow{M_D\left(\vec F\right)}=F\left(h\sin{\alpha}-\left(a+b\right)\cos{\alpha}\right)\vec z\)

 

Expliquer succinctement (mais clairement !) à quelle condition géométrique le \(\overrightarrow{M_D\left(\vec F\right)}\) serait nul. Faire un schéma.
Correction

D sur la droite support de \(\vec F\) ⇒ \(\overrightarrow{M_D\left(\vec F\right)}=\vec 0\)

\(h\sin{\alpha}-\left(a+b\right)\cos{\alpha}=0\)

 

En déduire l’expression littérale de \(\alpha\) pour que cette condition soit remplie. Faire l’application numérique.
Correction

\(\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{a+b}{h}\)

\(\alpha=\tan^{-1}{\frac{a+b}{h}}\)

Application numérique :

\(\alpha=\tan^{-1}{\frac{200+55}{305}}=40°\)

 

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