Descentes de charge : exemple

Objectif de l’étude

L’étude porte sur une structure en béton armé constituée d’une dalle D posée sur deux poutres parallèles Po. Chacune des poutres s’appuie sur un voile vertical (un mur) M d’un coté et sur un poteau P de l’autre. Chaque poteau repose sur une semelle S.

Description de la structure

 

Surcharges d’exploitation

La structure est destinée à une utilisation commerciale.

→ les surcharges d’exploitation s’exercent sur la dalle : \(Q_D=4,8\;\text{kN/m}^2\)

 

Propriétés des matériaux

• Résistance à la compression du béton : \(R_b=30\;\text{MPa}\)
• Résistance à l’enfoncement du sol : \(R_{enf}=0,08\;\text{MPa}\)

 

• Masse volumique du béton armé : \(\rho_{béton}=2500\;\text{kg/m}^3\)

 

 

Principe du calcul

Le calcul de descente de charges consiste à l’isolement statique successif des éléments structurels, en procédant du haut de la structure vers le bas.

L’objectif de ce type d’étude est de dimensionner les éléments de la structure, c’est à dire déterminer (ou valider) leurs dimensions. Deux types d’étude peuvent être menés conjointement :

• Étude à l’état limite de service : ELS
• Étude à l’état limite ultime : ELU

Exemples de limites ultimes :

• • Résistance à la compression du béton : \(R_b\)
  • Résistance à l’enfoncement du sol : \(R_{enf}\)
  • …

 

Dalle

Détermination des charges

Détermination des charges sur la dalle D [kN/m²] :

• charges permanentes : \(G_D\)
  • poids propre : \(P_{D}\)
    
    Correction

    \(P_{D}=\rho_{béton}\times g\times e\)
    \(P_{D}=2,5\times 10\times 0,15=3,75\;\color{green}{\text{kN/m}^2}\)
    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_D=P_{D}=3,75\;\color{green}{\text{kN/m}^2}}\)

 

• charges d’exploitation : \(Q_D\)
  
  • directes : \(Q_D\)
  Correction

  \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_D=4,8\;\color{green}{\text{kN/m}^2}}\)

 

 

Études de résistance

Résistance à la flexion : non étudiée

 

Poutre

Détermination des charges

Détermination des charges sur la poutre Po [kN/m] :

• charges permanentes : \(G_{Po}\)
  • poids propre : \(P_{Po}\)
    
    Correction

    \(P_{Po}=\rho_{béton}\times g\times c\times d\)
    \(P_{Po}=2,5\times 10\times 0,5\times 0,4=5\;\color{green}{\text{kN/m}}\)
  • reprises de la dalle : \(R_{Po}=G_D\times L_D\)
    • largeur de reprise : \(L_D=\frac{b}{2}\)
    Correction

    \(R_{Po}=3,75 \frac{6}{2}=11,25\;\color{green}{\text{kN/m}}\)
    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_{Po}=P_{Po}+R_{Po}=16,25\;\color{green}{\text{kN/m}}}\)

 

• charges d’exploitation : \(Q_{Po}\)
  • directes : aucune
  • reprises de la dalle : \(Q_{Po}=Q_D\times L_D\)
    
    Correction

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_{Po}=4,8\times \frac{6}{2}=14,4\;\color{green}{\text{kN/m}}}\)

 

 

 

Études de résistance

Résistance à la flexion : non étudiée

 

Poteau

Détermination des charges

Détermination des charges sur le poteau P [kN] :

 

• charges permanentes : \(G_{P}\)
  • poids propre \(P_{P}\)
    
    Correction

    \(P_{P}=\rho_{béton}\times g\times d^2\times h\)
    \(P_{P}=2,5\times 10\times 0,4^2\times 2,5=10\;\color{green}{\text{kN}}\)
  • reprises de la poutre : \(R_{P}\)
    largeur de reprise : \(L_{Po}=\frac{a}{2}\)
    
    Correction

    \(L_{Po}=G_{Po}\times L_{Po}\)
    \(R_{P}=16.25\frac{8}{2}=65\;\color{green}{\text{kN}}\)
    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_{P}=P_{P}+R_{P}=75\;\color{green}{\text{kN}}}\)

 

• charges d’exploitation : \(Q_{P}\)
  • directes : aucune
  • reprises de la poutre : \(Q_{P}\)
    
    Correction

    \(Q_{P}=Q_{Po}\times L_{Po}\)
    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_{P}=14,4\frac{8}{2}=57,6\;\color{green}{\text{kN}}}\)

 

 

 

Études de résistance

Résistance à la compression : \(\sigma_P<R_{béton}\)

à l’ELU : \(\sigma_P\)

 

Résistance au flambement : non étudié

 

Semelle

Détermination des charges

Détermination des charges sur la semelle S [kN] :

 

• charges permanentes : \(G_{S}\)
  • poids propre \(P_{S}\)
    
    Correction

    \(P_{S}=\rho_{béton}\times g\times d\times f^2\)
    \(P_{S}=2,5\times 10\times 0,4\times f^2=10\times f^2\)
  • reprises du poteau : \(R_{S}\)
    
    Correction

    \(R_{S}=G_P=75\;\color{green}{\text{kN}}\) \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_{S}=P_{S}+R_{S}=75+10\times f^2}\)

   

  • charges d’exploitation : \(Q_{S}\)
    • reprises du poteau : \(Q_{S}=Q_{P}\)
      
      Correction

      \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_{S}=57,6\;\color{green}{\text{kN}}}\)

   

   

   

  Études de résistance

  Résistance à l’enfoncement du sol : \(\sigma_S<R_{enf}\)

  à l’ELU : \(\sigma_S\)

  Correction

  \(\sigma_S=\frac{1,35G_{S}+1,5Q_{S}}{f^2}\)

  \(\sigma_S=\frac{1,35\left(75+10\times f^2\right)+1,5\times 57,6}{f^2}=\frac{187,65}{f^2}+13,5\)

  \(\sigma_S<R_{enf}\)

  ⇒ \(\frac{187,65}{f^2}+13,5<R_{enf}=80\;\text{kN/m}^2\)

  ⇒ \(f>\sqrt{\frac{187,65}{80-13,5}}\)

  ⇒ \(\bbox[2px,border:2px solid black]{f>1,68\;\color{green}{\text{m}}}\) !!