Descentes de charge : exemple

Objectif de l’étude

L’étude porte sur une structure en béton armé constituée d’une dalle D posée sur deux poutres parallèles Po. Chacune des poutres s’appuie sur un voile vertical (un mur) M d’un coté et sur un poteau P de l’autre. Chaque poteau repose sur une semelle S.

Description de la structure

 

Charges d’exploitation

La structure est destiné à une utilisation commerciale.

→ les charges d’exploitation s’exercent sur la dalle : \(Q_D=4,8\;\text{kN/m}^2\)

 

Propriétés des matériaux

  • Résistance à la compression du béton : \(R_b=30\;\text{MPa}\)
  • Résistance à l’enfoncement du sol : \(R_{enf}=0,08\;\text{MPa}\)

 

  • Masse volumique du béton armé : \(\rho_{béton}=2500\;\text{kg/m}^3\)

 

 

 

Le calcul de descente de charges consiste à l’isolement statique successif des éléments structurels, en procédant du haut de la structure vers le bas.

L’objectif de ce type d’étude est de dimensionner les éléments de la structure, c’est à dire déterminer (ou valider) leurs dimensions. Deux types d’étude peuvent être menés conjointement :

  • Étude à l’état limite de service : ELS
  • Étude à l’état limite ultime : ELU

Exemples de limites ultimes :

    • Résistance à la compression du béton : \(R_b\)
    • Résistance à l’enfoncement du sol : \(R_{enf}\)

 

Dalle

Détermination des charges

Détermination des charges sur la dalle D [kN/m2]:

  • charges permanentes : \(G_D\)
    • poids propre : \(P_{D}=\rho_{béton}\times g\times e\)
      \(P_{D}=2,5\times 10\times 0,15=3,75\;\color{green}{\text{kN/m}^2}\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_D=P_{D}=3,75\;\color{green}{\text{kN/m}^2}}\)

 

  • charges d’exploitation : \(Q_D\)

    • directes : \(Q_D\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_D=4,8\;\color{green}{\text{kN/m}^2}}\)

Études de résistance

Résistance à la flexion : non étudiée

 

Poutre

Détermination des charges

Détermination des charges sur la poutre Po [kN/m] :

  • charges permanentes : \(G_{Po}\)
    • poids propre : \(P_{Po}=\rho_{béton}\times g\times c\times d\)
      \(P_{Po}=2,5\times 10\times 0,5\times 0,4=5\;\color{green}{\text{kN/m}}\)
    • reprises de la dalle : \(R_{Po}=G_D\times L_D\)
      • largeur de reprise : \(L_D=\frac{b}{2}\)

      \(R_{Po}=3,75 \frac{6}{2}=11,25\;\color{green}{\text{kN/m}}\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_{Po}=P_{Po}+R_{Po}=15,25\;\color{green}{\text{kN/m}}}\)

 

  • charges d’exploitation : \(Q_{Po}\)
    • directes : aucune
    • reprises de la dalle : \(Q_{Po}=Q_D\times L_D\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_{Po}=4,8\times \frac{6}{2}=14,4\;\color{green}{\text{kN/m}}}\)

 

Études de résistance

Résistance à la flexion : non étudiée

 

Poteau

Détermination des charges

Détermination des charges sur le poteau P [kN] :

  • charges permanentes : \(G_{P}\)
    • poids propre \(P_{P}=\rho_{béton}\times g\times d^2\times h\)
      \(P_{P}=2,5\times 10\times 0,4^2\times 2,5=10\;\color{green}{\text{kN}}\)
    • reprises de la poutre : \(R_{P}=G_{Po}\times L_{Po}\)
      • largeur de reprise : \(L_{Po}=\frac{a}{2}\)

      \(R_{P}=16.25\frac{8}{2}=65\;\color{green}{\text{kN}}\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_{P}=P_{P}+R_{P}=75\;\color{green}{\text{kN}}}\)

 

  • charges d’exploitation : \(Q_{P}\)
    • directes : aucune
    • reprises de la poutre : \(Q_{P}=Q_{Po}\times L_{Po}\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_{P}=14,4\frac{8}{2}=57,6\;\color{green}{\text{kN}}}\)

 

Études de résistance

Résistance à la compression : \(\sigma_P<R_{béton}\)

à l’ELU : \(\sigma_P=\frac{1,35G_{P}+1,5Q_{P}}{d^2}\)

\(\sigma_P=\frac{1,35\times 75+1,5\times 57,6}{0,4^2}=1173\;\text{kN/m}^2=1,173\;\color{green}{\text{MPa}}\)

\(\sigma_P=1,173\;\text{MPa}<R_{béton}=30\;\text{MPa}\)

 

Résistance au flambement : non étudié

 

Semelle

Détermination des charges

Détermination des charges sur la semelle S [kN] :

  • charges permanentes : \(G_{S}\)
    • poids propre \(P_{S}=\rho_{béton}\times g\times d\times f^2\)
      \(P_{S}=2,5\times 10\times 0,4\times f^2=10\times f^2\)
    • reprises du poteau : \(R_{S}\)
      \(R_{S}=G_P=75\;\color{green}{\text{kN}}\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{G_{S}=P_{S}+R_{S}=75+10\times f^2}\)

 

  • charges d’exploitation : \(Q_{S}\)
    • reprises du poteau : \(Q_{S}=Q_{P}\)

    \(\bbox[2px,border:2px solid black]{Q_{S}=57,6\;\color{green}{\text{kN}}}\)

 

Études de résistance

Résistance à l’enfoncement du sol : \(\sigma_S<R_{enf}\)

à l’ELU : \(\sigma_S=\frac{1,35G_{S}+1,5Q_{S}}{f^2}\)

\(\sigma_S=\frac{1,35\left(75+10\times f^2\right)+1,5\times 57,6}{f^2}=\frac{187,65}{f^2}+13,5\)

\(\sigma_S<R_{enf}\)

⇒ \(\frac{187,65}{f^2}+13,5<R_{enf}=80\;\text{kN/m}^2\)

⇒ \(f>\sqrt{\frac{187,65}{80-13,5}}\)

\(\bbox[2px,border:2px solid black]{f>1,68\;\color{green}{\text{m}}}\) !!

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