Fermeture géométrique

Objectif : détermination de la loi entrée-sortie d’un mécanisme dans le cas d’une chaîne cinématique fermée.

Mécanisme bielle-manivelle

Dans le cas d’un mécanisme bielle manivelle, on souhaite obtenir la loi \(c(t)=f\left(\theta(t)\right)\) :

Fermeture géométrique :

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)

En projection sur les axes de la base \(\left(\vec x, \vec y\right)\) :

\(\left\{
\begin{aligned}
a\;\cos \theta+b\;\cos \alpha-c&=0  & \color{grey}{/\vec x} \\
a\;\sin\theta+b\;\sin\alpha&=0  & \color{grey}{/\vec y}
\end{aligned}
\right.\)

On isole l’inconnue \(\alpha\) (que l’on ne souhaite pas déterminer !) :

\(\begin{aligned}
c(t)-a\;\cos \theta&=b\;\cos \alpha \\
-a\;\sin\theta&=b\;\sin\alpha
\end{aligned}\)

Et on élève ces deux expressions au carré puis on les additionne pour faire apparaitre \(\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha\) (car on sait que cela va faire « disparaitre » \(\alpha\) !)

\(\begin{aligned}
\left(c(t)-a\;\cos \theta\right)^2&=b^2\;\cos^2 \alpha \\
\left(a\;\sin\theta\right)^2&=b^2\;\sin^2\alpha
\end{aligned}\)

En additionnant :

\(\left(c(t)-a\;\cos \theta\right)^2+\left(a\;\sin\theta\right)^2=b^2\)

Soit :

\(\bbox[lightgrey,2px,border:2px solid black]{\large{c(t)=a\;\cos\theta+\sqrt{b^2-a^2\;\sin^2\theta}}}\)

Autres mécanismes

Résolution numérique

Parfois, la résolution analytique est tout bonnement impossible !

Dans ce cas, la fermeture géométrique doit être complétée par une méthode numérique de résolution.

Afin de terminer la résolution, on utilise un script Python pour déterminer la loi \(\varphi \rightarrow \theta\) :

Exemple (pour un angle \(varphi\) variant de 0 à 20°) :

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rc

rc('text', usetex=True)

# Dimensions du mécanisme
a = 50.0 # mm
b = 50.0
c = 40.0
u = 25.0
v = 15.0

# Equation de fermeture géométrique
def fermeture(theta, phi):
    return (u - c*np.cos(theta) - a*np.cos(phi))**2 \
         + (v - c*np.sin(theta) - a*np.sin(phi))**2  \
         - b**2

# Valeurs d'entrée : phi(t)
phi = np.linspace(0, 20*np.pi/180, 200)

# Valeurs de sortie : theta(t)
theta = np.zeros_like(phi)

# Valeur initiale pour la résolution
theta_0 = 0.0

for i in range(len(phi)):
    sol = fsolve(fermeture, theta_0, args=(phi[i]))
    theta[i] = sol[0]
    theta_0 = theta[i] 


# Régression lineaire
a, b = np.polyfit(phi, theta, 1)
poly1d_fn = np.poly1d((a, b))

# Affichage des résultats
#plt.plot(phi, theta)
plt.plot(phi, theta, 'b', phi, poly1d_fn(phi), '--k')
plt.text(min(phi), max(theta), r"$\theta="+"{:3.2f}".format(a)+r"\varphi+"+"{:3.2f}".format(b)+r"$")
plt.xlabel(r"$\varphi$ (rad)")
plt.ylabel(r"$\theta$ (rad)")
plt.title("Loi entrée-sortie du mécanisme '4 barres'")
plt.grid()
plt.show()