Sauf indication contraire, tous les résultats des calculs suivants seront exprimés dans les unités du système international (U.S.I.).
Rédiger sur copie, avec soin et clarté. Justifier tous les calculs.
Blaise
Blaise soulève un carton de \(12\;\text{kg}\) depuis le sol jusqu’à une table de hauteur \(82\;\text{cm}\). Calculer l’énergie utile qu’il a dû produire.
CORRECTION
L’énergie que Blaise à dû produire correspond à la variation d’énergie potentielle du carton :
\(m=12\;\text{kg}\)
\(h=82\;\text{cm}=0,82\;\text{m}\)
\(g=9,81\;\text{m/s}^2\) (accélération de la pesanteur)
\(\Delta E_p=m\cdot g\cdot h\color{green}{=12\times 9,81\times0,82=9,84\;\text{J}}\)
Pascale
Sur terrain plat, Pascale peut courir à \(25\;\text{km/h}\) et pèse \(66\;\text{kg}\). Calculer son énergie cinétique.
CORRECTION
\(m=66\;\text{kg}\)
\(V=25\;\text{km/h}=\frac{25}{3,6}\;\text{m/s}\)
\(E_c=\frac{1}{2}m\cdot V^2\color{green}{=\frac{1}{2}66\times \left(\frac{25}{3,6}\right)^2\approx 1590\;\text{J}}\)
Hercule
Hercule doit ouvrir un bocal de cornichon particulièrement récalcitrant : il doit fournir un couple de \(3\;\text{Nm}\) pendant 1/8ème de tour de capsule. Calculer le travail de ce couple.
CORRECTION
\(C=3\;\text{Nm}\)
\(\theta=\frac{1}{8}\;\text{tour}=\frac{2\pi}{8}\;\text{rad}\) (angle parcouru)
\(W_C=C\cdot \theta\color{green}{=3\times \frac{2\pi}{8}\approx 2,36\;\text{J}}\)
Roger
Roger, dont la voiture est en panne, décide de la pousser pour la garer sur le bord de la route. Il doit parcourir \(12\;\text{m}\) et la résistance au roulement de son véhicule est de \(14\;\text{daN}\). Heureusement que la route n’est pas en pente ! Calculer l’énergie qu’il devra fournir.
CORRECTION
L’énergie à produire par Roger s’appelle le travail de la force qu’il exerce.
\(F=14\;\text{daN}=140\;\text{N}\)
\(d=12\;\text{m}\) (déplacement)
\(W_F=F\cdot d\color{green}{=140\times 12=1680\;\text{J}}\)
Hector
Hector veut recharger son smartphone le plus rapidement possible. Il doit choisir un chargeur parmi les deux dont il dispose. Sur le premier, il est écrit OUTPUT 15.3W, et sur le deuxième il est écrit OUTPUT 5.1V - 2.5A. Lequel doit-il choisir ?
CORRECTION
Hector doit choisir le chargeur le plus puissant.
- Le premier : \(P_1=15,3\;\text{W}\)
- Le deuxième : \(P_2=U\cdot I\color{green}{=5,1\times 2,5=12,75\;\text{W}}\)
Hector doit donc choisir le premier.
Lucien
Lucien veut faire bouillir de l’eau pour son thé. Il met dans sa bouilloire \(20\;\text{cL}\) d’eau à \(20\text{°C}\).
Calculer l’énergie nécessaire à faire bouillir son eau, sachant que la capacité thermique massique de l’eau est de \(c_{eau}=4185\;\text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}\).
Besoin d'aide ?
Il faut se rappeler que la masse volumique de l’eau vaut \(\rho_{eau}=1000\;\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}\)
CORRECTION
Volume d’eau : \(V_{eau}=20\;\text{cL}=0,2\cdot10^{-3}\;\text{m}^{3}\)
Masse d’eau : \(m_{eau}=\rho_{eau}\cdot V_{eau}=1000\times 0,2\cdot10^{-3}=0,2\;\text{kg}\)
Variation de température : \(\Delta T=100-20=80\;\text{K}=80\;\text{°C}\)
Énergie nécessaire :
\(E=c_{eau}\cdot \Delta T\cdot m_{eau}\color{green}{=4185\times 80\times 0,2\approx 67\;\text{kJ}}\)
L’étiquette de la bouilloire de Lucien indique \(700\;\text{W}\).
Calculer le temps que devrait mettre l’eau du thé avant de bouillir.
CORRECTION
La puissance étant constante, on a \(\Delta E=P\cdot\Delta t\)
\(\Delta t=\frac{\Delta E}{P}\color{green}{=\frac{67\cdot10^3}{700}\approx96\;\text{s}\approx1\;\text{min}\;36\;\text{s}}\)
Kevin
Kevin tracte la luge sur laquelle se trouve sa sœur Linda pour remonter la pente de la piste de luge. Linda pèse \(18\;\text{kg}\), la pente fait 9% et la piste de luge 120 m de long. Calculer le travail de la force exercée par Kevin.
Besoin d'aide ?
On appelle pente le rapport entre la variation d’altitude \(\Delta h\) et la distance parcourue \(d\) (horizontalement, comme sur une carte)
Un peu de trigonométrie ?
CORRECTION
Masse de Linda : \(m=18\;\text{kg}\)
Variation d’altitude \(\Delta h=\frac{9}{100}\times 120=10,8\;\text{m}\)
L’énergie à fournir par Kevin correspond à la variation d’énergie potentielle de pesanteur :
\(g=9,81\;\text{m/s}^2\) (accélération de la pesanteur)
\(\Delta E_p=m\cdot g\cdot\Delta h\color{green}{=18\times 9,81\times10,8=1907\;\text{J}}\)
Mélusine
Mélusine vient d’arriver en vélo au sommet d’un col, après une ascension de \(840\;\text{m}\) de dénivelé. Il lui a fallu 1h40. Calculer la puissance utile qu’elle a dû fournir en moyenne, sachant qu’elle et son vélo pèsent \(75\;\text{kg}\).
CORRECTION
\(m=75\;\text{kg}\)
Énergie totale = énergie potentielle de pesanteur
\(E_p=m\cdot g\cdot h\color{green}{=75\times 9,81\times 840\approx618000\;\text{J}}\)
En supposant que Mélusine a fourni une puissance \(P\) constante :
\(E_p=P\cdot T\)
avec \(T=1h40=100\;\text{min}=6000\;\text{s}\)
D’où :
\(P=\frac{E_p}{T}\color{green}{=\frac{618000}{6000}=103\;\text{W}}\)
Dans la descente (pente à 7%), après une pause bien méritée, Mélusine ne parvient pas à dépasser la vitesse de \(72\;\text{km/h}\). Calculer la composante verticale de sa vitesse, puis l’énergie potentielle qu’elle perd chaque seconde.
CORRECTION
Pente exprimée par l’angle avec la direction horizontale : \(\alpha=\arctan\left(\frac{\Delta h}{d}\right)=\arctan\left(0,07\right)\approx4°\)
Vitesse de Mélusine : \(V=72\;\text{km/h}=\frac{72}{3,6}\;\text{m/s}\)
La composante verticale du vecteur vitesse (que l’on l’appellera \(V_X\)) se calcule grâce à la trigonométrie :
\(V_X=V\times \cos\left(\alpha\right)\color{green}{=\frac{72}{3,6}\sin\left(\arctan\left(0,07\right)\right)\approx 1,4\;\text{m/s}}\)
En cas de difficultés avec la trigonométrie, voir le cours et faire les exercices, ainsi que les quiz.
CORRECTION
En 1 seconde, Mélusine perd \(\Delta h=1,4\;\text{m}\), soit une énergie potentielle :
\(\Delta E_p=m\cdot g\cdot\Delta h\color{green}{=75\times 9,81\times 1,4\approx1028\;\text{J}}\)
En déduire la valeur de l’ensemble des forces résistantes (résistance au roulement, résistance de l’air, frottements internes au vélo).
Besoin d'aide ?
En l’absence de frottements, l’énergie potentielle perdue par Mélusine devrait intégralement être convertie en énergie cinétique (principe de conservation de l’énergie mécanique). Or Mélusine n’accélère plus. Cela est dû aux forces de frottement, qui ne sont pas conservatives.
La puissance de ces forces n’est pas nulle !
Elle est égale à la puissance du poids de Mélusine.
CORRECTION
La puissance de l’ensemble des forces résistantes qui s’exercent sur mélusine peut s’écrire \(P_R=F_R\cdot V\)
On a donc : \(P = \frac{\Delta E_p}{1\;\text{s}}\)
\(F=\frac{P}{V}=\frac{\Delta E_p}{V}\color{green}{=\frac{1028\times 3,6}{72}=51,4\;\text{N}}\)
Alceste
Le vélo à assistance électrique (VAE) d’Alceste est équipé d’un moteur capable de fournir une puissance mécanique de \(250\;\text{W}\). La législation limite la vitesse d’assistance à \(25\;\text{km/h}\). Sachant que le contrôleur oblige Alceste à fournir au moins ¼ de l’effort, calculer la force de poussée exercée par le moteur dans ces conditions.
CORRECTION
Vitesse du VAE : \(V=25\;\text{km/h}=\frac{25}{3,6}\;\text{m/s}\)
Puissance délivrée par le moteur du VAE : \(P=250\;\text{W}\)
On appelle \(F\) la force correspondant à l’action mécanique exercée par le moteur et rapportée à la roue (appelé force de poussée).
On sait que : \(P=F\cdot V\)
\(F=\frac{P}{V}\color{green}{=\frac{250\times 3,6}{25}=36\;\text{N}}\)
Remarque : le fait qu’Alceste doivent fournir ¼ de l’effort n’intervient pas ici, car la puissance mécanique donnée dans l’énoncée est celle du moteur seulement, et on cherche justement la force exercée par le moteur.
Neslon
Nelson ne comprend pas pourquoi son installation électrique disjoncte lorsqu’il allume le four tandis que son lave-linge est en marche. Il regarde les puissances de ses équipements sur leurs étiquettes : lave-linge \(2,1\;\text{kW}\) et four \(2,8\;\text{kW}\). Le disjoncteur est un modèle 20A. Expliquer à Nelson la raison de son problème.
CORRECTION
La tension du réseau électrique est \(U=230\;\text{V}\)
L’intensité maximale admise par le disjoncteur de Nelson est \(I=20\;\text{A}\)
La puissance maximale de l’ensemble des appareils que l’on peut y raccorder est donc \(P=U\cdot I\color{green}{=230\times20=4600\;\text{W}=4,6\;\text{kW}}\)
Or la puissance cumulée de son lave-linge et de son four fait \(2,1+2,8=4,9\;\text{kW}\) … ce qui est supérieur à la puissance limite du disjoncteur !
Eugénie
D’après son régulateur, le panneau solaire d’Eugénie fournit à une batterie une puissance de \(5,6\;\text{W}\). Au même instant, Eugénie à mesuré une irradiance solaire de \(860\;\text{W/m²}\), et son panneau solaire mesure \(200\;\text{mm}\) par \(300\;\text{mm}\) (dimensions utiles). Calculer son rendement.
CORRECTION
Irradiance : \(I_r=860\;\text{W/m²}\)
Surface utile du panneau solaire : \(S=0,2\times 0,3=0,06\;\text{mm}\)
Le panneau solaire reçoit (puissance d’entrée) : \(P_e=I_r\cdot S=860\times0,06\)
Puissance de sortie du panneau solaire : \(P_s=5,6\;\text{W}\)
Rendement :
\(\eta=\frac{P_s}{P_e}\color{green}{=\frac{5,6}{860\times0,06}\approx0,109=10,9\%}\)
Marcel
La trottinette électrique de Marcel indique, sur une route plane, une consommation électrique instantanée de \(2,7\;\text{A}\) alors qu’elle le propulse à la vitesse de \(23\;\text{km/h}\). La batterie possède une tension nominale de \(36\;\text{V}\).
Si on fait l’hypothèse que la seule force s’opposant au mouvement est la trainée aérodynamique, déterminer le rendement global de la trottinette dans ces conditions d’utilisation.
Informations : trainée aérodynamique (force) : \(T=\frac{1}{2}\rho\cdot C_x\cdot S\cdot V^2\) avec :
- masse volumique de l’air \(rho=1,2\;\text{kg/m}^3\) ,
- surface frontale de Marcel \(S=0,5\;\text{m}^2\) ,
- coefficient de trainée de Marcel debout \(C_x=1\).
CORRECTION
À l’entrée :
- \(U=36\;\text{V}\)
- \(I=2,7\;\text{A}\)
À la sortie :
- \(V=23\;\text{km/h}=\frac{23}{3,6}\;\text{m/s}\)
- \(T=\frac{1}{2}\rho\cdot C_x\cdot S\cdot V^2\color{green}{=\frac{1}{2}\times1,2\times 1\times0,5\times \left(\frac{23}{3,6}\right)^2=12,24\;\text{N}}\)
Rendement global de la trottinette :
\(\eta=\frac{P_s}{P_e}=\frac{T\cdot V}{U\cdot I}\color{green}{=\frac{12,24\times \frac{23}{3,6}}{36\times 2,7}\approx0,805=80,5\%}\)
Rosa
Sur l’étiquette du chargeur de smartphone de Rosa, il est écrit :
INPUT 230V – 0.5A
OUTPUT 5.1V – 3.0A
Calculer son rendement.
CORRECTION
À l’entrée :
- \(U_e=230\;\text{V}\)
- \(I_e=0,5\;\text{A}\)
À la sortie :
- \(U_s=5,1\;\text{V}\)
- \(I_s=3\;\text{A}\)
Rendement du chargeur :
\(\eta=\frac{P_s}{P_e}=\frac{U_s\cdot I_s}{U_e\cdot I_e}\color{green}{=\frac{5,1\times3}{230\times0,5}\approx0,133=13,3\%}\)
Joseph
Le charpentier Joseph possède un treuil électrique capable de monter une charge de \(250\;\text{kg}\) à la vitesse de \(0,3\;\text{m/s}\). Dans ces conditions, d’après le compteur électrique, le treuil consomme \(920\;\text{W}\). Calculer son rendement.
CORRECTION
À l’entrée :
À la sortie :
- \(F=m\cdot g\) avec \(m=250\;\text{kg}\)
- \(V=0,3\;\text{m/s}\)
Rendement du treuil :
\(\eta=\frac{P_s}{P_e}=\frac{m\cdot g\cdot V}{P_e}\color{green}{=\frac{250\times9,81\times0,3}{920}\approx0,8=80\%}\)
Géraldine
L’ordinateur de bord de la voiture de Géraldine (dont la masse totale fait 1t5) indique une consommation instantanée de \(9,1\;\text{L/100km}\), alors qu’elle gravit une côte à 10%, à \(50\;\text{km/h}\). Si on suppose les efforts résistants négligeables devant celui nécessaire pour monter, et sachant qu’un litre d’essence peut produire \(10\;\text{kWh}\) de chaleur, calculer le rendement de son moteur dans ces conditions.
CORRECTION
À l’entrée :
- \(c = 9,1\;\text{L/100km}=\frac{9,1}{100\times1000}\;\text{L/m}\) (consommation)
- \(E_v=10\;\text{kWh/L}=10\times1000\times3600\;\text{J/L}\) (énergie volumique de l’essence)
- \(V=50\;\text{km/h}=\frac{50}{3,6}\;\text{m/s}\)
On en déduit :
-
- \(E_L=E_v\cdot c\) (énergie consommée par mètre parcouru)
\(\color{green}{\left[\text{J/L}\right]\times\left[\text{L/m}\right]=\left[\text{J/m}\right]}\)
- \(P_e=E_L\cdot V\) , qui s’exprime bien en \(\text{W}\) :
\(\color{green}{\left[\text{J/m}\right]\times\left[\text{m/s}\right]=\left[\text{J/s}\right]=\left[\text{W}\right]}\)
À la sortie :
- \(m=1,5\;\text{t}=1500\;\text{kg}\)
- Vitesse ascensionnelle (composante verticale de la vitesse) : \(V_a=V\sin\left(\arctan\frac{10}{100}\right)\)
- Force ascensionnelle : \(F=m\cdot g\)
Rendement du moteur :
\( \eta=\frac{P_s}{P_e}=\frac{m\cdot g\cdot V_a}{P_e} \)
\( \eta=\frac{m\cdot g\cdot V\sin\left(\arctan\frac{10}{100}\right)}{E_L\cdot V} \)
\( \eta=\frac{m\cdot g\cdot \sin\left(\arctan\frac{10}{100}\right)}{E_L} \)
\(\color{green}{ \eta=\frac{1500\times9,81\times \sin\left(\arctan\frac{10}{100}\right)}{10\times1000\times3600\times\frac{9,1}{100\times1000}}} \)
Remarque : ce rendement ne dépend pas de la vitesse !
Martine
Martine recharge son portable avec un chargeur à manivelle. À partir d’un portable complètement déchargé, elle est obligée de tourner la manivelle pendant 1h30, à raison de 1 tour par seconde et un fournissant un couple de \(0,8\;\text{Nm}\) pour ne recharger que le quart de la batterie de son smartphone (3600 mAh – 3,7 V). Calculer le rendement de cette opération.
CORRECTION
À l’entrée :
- \( C=0,8\;\text{Nm}\)
- \( N=1\;\text{tr/s} \rightarrow \omega=2\pi\;\text{rad/s} \)
- \( t=1,5\;\text{h} = 5400\;\text{s}\)
À la sortie :
- \(U=3,7\;\text{V} \)
- \( Q=\frac{1}{4}\times 3,6\; \text{Ah} = 0,9\;\text{Ah}=0,9\times3600 \; \text{C}=3240\; \text{C}\)
Rendement :
\( \eta = \frac{Q \cdot U}{C \cdot \omega \cdot t} \)
\(\color{green}{ \eta = \frac{3,4 \times 3240}{0,8 \times 2\pi \times 5400}}\)
\(\color{green}{\eta=0,44}\)
Rachid
Rachid se lance en skateboard du haut de la rampe de son skatepark préféré, espérant ainsi parvenir du coté opposé, situé à la même hauteur. Malheureusement il n’y parvient pas : il s’arrête \(40\;\text{cm}\) trop bas. Sachant que Rachid pèse \(75\;\text{kg}\), calculer l’énergie qui s’est dissipée pendant sa « figure ».
CORRECTION
Puisqu’il a perdu \(h=40\;\text{cm}=0,4\;\text{m}\)\), il a également perdu de l’énergie potentielle de pesanteur.
\(\Delta E_p=m\cdot g\cdot h\color{green}{=75\times 9,81\times0,4\approx294\;\text{J}}\)
