Miroir de télescope
Les très grands télescopes optiques possèdent des miroirs de grands diamètres (entre 4 et 12m). De fortes contraintes de stabilité dimensionnelle sont requises pour éviter la détérioration de leurs propriétés optiques par déflexion. Ces contraintes peuvent être prises en compte grâce à l’augmentation de la rigidité des matériaux choisis.
A titre indicatif, un miroir en verre de 6m de diamètre, doit avoir une épaisseur minimale de 1m pour assurer une bonne rigidité. (déflexion de \(10\mu m\)). Le poids d’un tel miroir est de 70 tonnes !
Par ailleurs, la part du coût d’un miroir dans le prix d’un télescope varie entre 5-10%.
Il est important de faire un choix de matériau limitant la déflexion du miroir sous l’effet de son poids, en réduisant également le coût du matériau.
- La masse volumique sera notée \(\rho\), le module d’Young \(E\),
- Le miroir sera assimilé à un disque de rayon \(R\), de masse \(m\) et d’épaisseur \(t\).
- L’accélération de la pesanteur est \(g=10m/s^2\).
Travail demandé
Donner l’expression de la masse du miroir.
La déflexion au centre du miroir en position horizontale s’obtient par l’expression :
\(\delta=\frac{3}{4\pi}\frac{m\;g\;R^2}{E\;t^3}\)Donner l’expression de l’indice de performance \(I_1\) à maximiser pour limiter la déflexion du miroir. Donner son unité.
A l’aide d’un des graphiques fournis (voir en bas de la page), déterminer les matériaux (minimum 1 matériau parmi 4 familles) possédant le meilleur indice de performance \(I_1\) et calculer l’indice de performance limite (le plus petit).
A l’aide d’une feuille de calcul (faire un copier/coller du tableau ci-dessous pour gagner du temps !), calculer les meilleurs indices de performance des matériaux proposés.
| Caractéristiques du matériau | Caractéristiques du miroir | ||||||||
| Matériau | E [MPa] |
ρ [kg/m3] |
c [€/kg] |
I1 […] |
R [m] |
δ [μm] |
t [m] |
m [kg] |
Prix [€] |
| Bois | 25000 | 900 | 0,6 | 6 | 10 | ||||
| Alliage d’Aluminium | 70000 | 2700 | 1,3 | 6 | 10 | ||||
| Béton | 24000 | 2300 | 0,04 | 6 | 10 | ||||
| CFRP | 120000 | 1200 | 32 | 6 | 10 | ||||
| Mousse polymérique rigide | 3500 | 300 | 15 | 6 | 10 | ||||
| Verre | 80000 | 2200 | 6 | 6 | 10 | ||||
La déflexion ne doit pas dépasser \(10\mu m\).
Pour chaque matériau, calculer l’épaisseur du miroir, puis sa masse. En déduire son prix. Discuter les résultats obtenus.
Graphique
A télécharger et imprimer …
Source : http://www.utc.fr/~hagegebe/UV/MQ12/TD/%5bMQ12%5d_TD2.pdf