Exemples de Systèmes dynamiques simples

Systèmes du 1er ordre

Exemple mécanique : système masse-amortisseur

Il s’agit de mettre en mouvement une masse \(m\) par l’intermédiaire d’un amortisseur de coefficient de frottement \(f\).

Équation différentielle

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{#00F}{V_e(t)}=\frac{m}{f}\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{V_s(t)}}{\mathbb{d}t}+\color{#F00}{V_s(t)}}}\)

 

Démonstration

PFD appliqué à la masse : \(m\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{V_s(t)}}{\mathbb{d}t}=F_a\)

Équations de comportement des composants :

  • Amortisseur : \(F_a=f\left(\color{#00F}{V_e(t)}-\color{#F00}{V_s(t)}\right)\)

Réponse indicielle

La masse est mise en mouvement avec un échelon de vitesse \(V_1\).

On observe que la réponse indicielle possède :

  • pour \(t\rightarrow\infty\) : une asymptote horizontale d’ordonnée \(V_1\)
  • à \(t=0\) : une tangente oblique qui coupe l’asymptote à \(t=\tau=\frac{m}{f}\)
  • Augmenter \(m\) « ralenti » le système
  • Augmenter \(f\) l' »accélère »…

 

Modèles MATLAB/Simscape

 

Exemple électrique : circuit RC série

Une résistance \(R\) et un condensateur \(C\) en série sont soumis à une tension \(\color{#00F}{U_e(t)}\).

Équation différentielle

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{#00F}{U_e(t)}=RC\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{U_s(t)}}{\mathbb{d}t}+\color{#F00}{U_s(t)}}}\)
Démonstration

Équations de comportement des composants :

  • Résistance : \(U_R(t)=R\cdot I(t)\)
  • Condensateur : \(I(t)=C\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{U_s(t)}}{\mathbb{d}t}\)

Loi des mailles : \(\color{#00F}{U_e(t)}=\color{#F00}{U_s(t)}+U_R(t)+\color{#F00}{U_s(t)}\)

Réponse indicielle

Le circuit est soumis à un échelon de tension \(U_1\).
On mesure la tension aux bornes du condensateur …

On observe que la réponse indicielle possède :

  • pour \(t\rightarrow\infty\) : une asymptote horizontale d’ordonnée \(U_1\)
  • à \(t=0\) : une tangente oblique qui coupe l’asymptote à \(t=\tau=RC\)
  • Augmenter \(R\) ou \(C\) « ralenti » le système…

Modèles MATLAB/Simscape

 

Systèmes du 2nd ordre

Exemple mécanique : système masse-ressort-amortisseur

Il s’agit de mettre en mouvement par l’intermédiaire d’un ressort de raideur \(k\) une masse \(m\) reliée au bâti par l’intermédiaire d’un amortisseur de coefficient de frottement \(f\).

Équation différentielle

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{#00F}{X_e(t)}=\frac{m}{k}\frac{\mathbb{d}^2\color{#F00}{X_s(t)}}{\mathbb{d}t^2}+\frac{f}{k}\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{X_s(t)}}{\mathbb{d}t}+\color{#F00}{X_s(t)}}}\)

 

Démonstration

PFD appliqué à la masse : \(m\frac{\mathbb{d}^2\color{#F00}{X_s(t)}}{\mathbb{d}t^2}=F_r+F_a\)

Équations de comportement des composants :

  • Ressort : \(F_r=-k\left(\color{#F00}{X_s(t)}-\color{#00F}{X_e(t)}\right)\)
  • Amortisseur : \(F_a=-f\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{X_s(t)}}{\mathbb{d}t}\)

Réponse indicielle

La masse est mise en mouvement avec un échelon de position \(X_1\). On mesure son déplacement.

On observe que la réponse indicielle possède :

  • pour \(t\rightarrow\infty\) : une asymptote horizontale d’ordonnée \(X_1\)
  • à \(t=0\) : une tangente horizontale

Et selon les valeurs des paramètres \(m\), \(k\) et \(f\) :

  • un dépassement ou pas
  • des oscillations ou pas
  • Augmenter \(f\) « ralenti » et « stabilise » le système
  • Augmenter \(m\) ou \(k\) l' »accélère » et le « déstabilise »…

Modèles MATLAB/Simscape

 

Exemple électrique : circuit RLC série

Une résistance \(R\) une inductance \(L\) et un condensateur \(C\) en série sont soumis à une tension \(\color{#00F}{U_e(t)}\)

Équation différentielle

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{#00F}{U_e(t)}=LC\frac{\mathbb{d}^2\color{#F00}{U_s(t)}}{\mathbb{d}t^2}+RC\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{U_s(t)}}{\mathbb{d}t}+\color{#F00}{U_s(t)}}}\)

 

Démonstration

Équations de comportement des composants :

  • Résistance : \(U_R(t)=R\cdot I(t)\)
  • Condensateur : \(I(t)=C\frac{\mathbb{d}\color{#F00}{U_s(t)}}{\mathbb{d}t}\)
  • Inductance : \(U_L(t)=L\frac{\mathbb{d}I(t)}{\mathbb{d}t}\)

Loi des mailles : \(\color{#00F}{U_e(t)}=\color{#F00}{U_s(t)}+U_R(t)+U_L(t)+\color{#F00}{U_s(t)}\)

Réponse indicielle

Le circuit est soumis à un échelon de tension \(U_1\). On mesure la tension aux bornes du condensateur …

On observe que la réponse indicielle possède :

  • pour \(t\rightarrow\infty\) : une asymptote horizontale d’ordonnée \(mU_1\)
  • à \(t=0\) : une tangente horizontale

Et selon les valeurs des paramètres \(R\), \(L\) et \(C\) :

  • un dépassement ou pas
  • des oscillations ou pas
  • Augmenter \(C\) ou \(R\) « ralenti » et « stabilise » le système
  • Augmenter \(L\) l' »accélère » et le « déstabilise »

Modèles MATLAB/Simscape

 

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