Les vecteurs

\(\newcommand{\parallelsum}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}}\)

Un scalaire, ou élément de l’ensemble des réels, ne porte qu’une seule information de grandeur physique : température, longueur, pression

Un vecteur porte un nombre d’informations égal à la dimension de l’espace vectoriel auquel il appartient, c’est à dire trois pour la mécanique traitée ici. Ceci justifie son nom : c’est un vecteur d’informations.

 

Soient :

  • \(\mathcal{E}\) un espace vectoriel,
  • 3 vecteurs \(\left(\vec a,\vec b,\vec c\right) \in \mathcal{E}^3\),
  • 2 scalaires réels \(\left(\alpha, \beta\right)\in \mathbb{R}\).

Notations et vocabulaire

Soient \(O\) et \(M\) deux points de \(\mathcal{E}\).

Soient \(x_M\), \(y_M\) et \(z_M\) les coordonnées de \(M\) dans le repère \(R\left(O, \vec x, \vec y, \vec z\right)\).

Le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) peut être écrit comme la somme de ses composantes dans \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\) ou bien en utilisant ses coordonnées dans \(b\) :

\(\overrightarrow{OM}=x_M\vec x+y_M\vec y+z_M\vec z=\begin{pmatrix}x_M\\y_M\\z_M\end{pmatrix}_b\)

Vue 3D du vecteur position (faites tourner et déplacez le point \(M\) !) :

Addition vectorielle

  • symbole : \(+\)
  • élément neutre : \(\vec 0\)
  • propriétés :
    • commutatif : \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\)
    • associatif : \(\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)\)

Multiplication d’un vecteur par un scalaire

  • symbole : \(\times\) ou rien (pas de point !)
  • élément neutre : 1
  • propriétés :
    • \(k\vec a \parallelsum \vec a\)
    • \(k\left(\vec a+\vec b\right)=k\vec a+k\vec b\)
    • \(\left(k+m\right)\vec a=k\vec a+m\vec a\)

­

Produit scalaire

\(\overrightarrow{a}\cdot\vec b=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\cos\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)\)
  • propriétés :
    • \(\vec a\bot\vec b\Leftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\)
    • \(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\) (commutatif)
    • \(k\vec a\cdot m\vec b=km\left(\vec a\cdot\vec b\right)\)

 

Produit vectoriel

­\(\vec a\wedge\vec b\) est normal au plan \(\left(\vec a,\vec b\right)\) \(\left\|\vec a\wedge\vec b\right\|=\left\|\vec a\right\|\times\left\|\vec b\right\|\times\sin\left(\widehat{\vec a,\vec b}\right)\)

  • ­propriétés :
    • \(\vec a\parallelsum\vec b\Leftrightarrow\vec a\wedge\vec b=\vec 0\)
    • \(\vec a\wedge\vec b=-\vec b\wedge\vec a\) (non commutatif)
    • \(k\vec a\wedge m\vec b=km\left(\vec a\wedge\vec b\right)\)
    • \(\left(\vec a\wedge\vec b\right)\wedge\vec c=\vec a\wedge\left(\vec b\wedge\vec c\right)\) (non associatif)

 

Vue 3D du produit vectoriel (faites tourner et déplacez les points !) :
­

Pour une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\) orthonormée directe, on a les relations :

  • \(\vec x\wedge\vec y=\vec z\)
  • \(\vec y\wedge\vec z=\vec x\)
  • \(\vec z\wedge\vec x=\vec y\)

 

Calculs en composantes cartésiennes

Soient 2 vecteurs \(\vec A\) et \(\vec B\)

Notons \(x_A\), \(y_A\), \(z_A\) et \(x_B\), \(y_B\), \(z_B\) leurs coordonnées cartésiennes dans une base \(b\left(\vec x,\vec y,\vec z\right)\).

On peut exprimer \(\vec A\) et \(\vec B\) de différentes manières :

  • par leurs composantes :
    • \(\vec A=x_A\vec x+y_A\vec y+z_A\vec z\)
    • \(\vec B=x_B\vec x+y_B\vec y+z_B\vec z\)
  • par leurs coordonnées :
    • \(\vec A=\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}_b\)
    • \(\vec B=\begin{pmatrix}x_B\\y_B\\z_B\end{pmatrix}_b\)

Remarque : pour écrire un vecteur « en colonne », il faut impérativement préciser la base dans laquelle ses coordonnées sont exprimées.

Produit scalaire

\(\vec A\cdot\vec B=\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}_b\cdot\begin{pmatrix}x_B\\y_B\\z_B\end{pmatrix}_b=x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B\)

Produit vectoriel

\(\vec A\wedge\vec B=\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}_b\wedge\begin{pmatrix}x_B\\y_B\\z_B\end{pmatrix}_b=\begin{pmatrix}y_Az_B-z_Ay_B\\z_Ax_B-x_Az_B\\x_Ay_B-y_Ax_B\end{pmatrix}_b\)

Formule du double produit vectoriel

Soient 3 vecteurs \(\vec A\), \(\vec B\) et \(\vec C\) \(\vec A\wedge\left(\vec B\wedge\vec C\right)=\left(\vec A\cdot\vec C\right)\vec B-\left(\vec A\cdot\vec B\right)\vec C\)

Produit mixte

Soient 3 vecteurs \(\vec A\), \(\vec B\) et \(\vec C\) \(\vec A\cdot\left(\vec B\wedge\vec C\right)=\vec B\cdot\left(\vec C\wedge\vec A\right)=\vec C\cdot\left(\vec A\wedge\vec B\right)\)

(Il est inchangé par permutation circulaire des 3 vecteurs \(\vec A\), \(\vec B\) et \(\vec C\))

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