Trigonométrie

Définition du radian

Un angle d’un radian intercepte sur la circonférence d’un cercle un arc d’une longueur égale au rayon.

Un cercle complet représente un angle de \(2\pi\) radians.

Conversion :

  • \(1^{\circ}=\frac{180}{\pi}rad\)
  • \(1rad=\frac{\pi}{180}^{\circ}\)

 

 

 

 

Longueur d’un arc

\(\large{\bbox[10px,border:2px solid black]{l = \alpha \times r}}\)

avec \(\alpha\) en radians !!

 

 

 

 

 

Cotés d’un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, on a souvent besoin de pouvoir exprimer la longueur d’un de ses cotés en fonction des autres cotés et d’un de ses angles :

 

 

 

On peut imaginer un cercle tel que :

  • le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \(\alpha\),
  • et le rayon \(r\) corresponde à l’hypoténuse du triangle rectangle

Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de \(r\) et de \(\alpha\) :

On peut aussi montrer, à l’aide du théorème de Pythagore :

\(\large{\bbox[10px,border:2px solid black]{\cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1}}\)

 

 

 

 

Mais on peut aussi imaginer un cercle tel que :

  • le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \(\alpha\),
  • et le rayon \(r\) corresponde au coté adjacent du triangle rectangle

Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de \(r\) et de \(\alpha\) :

Par définition :

\(\large{\bbox[10px,border:2px solid black]{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}}\)

 

 

 

Angles associés

\(\cos(\alpha)\)

\(\sin(\alpha)\)

 

 

 

 

 

 

 


Exercices :

  • Donner les expressions, en fonction de \(r\) et \(\alpha\),  des cotés rouges et verts des triangles rectangles ci-dessous :

 

  • En utilisant les propriétés des angles associés, simplifier les expressions ci-dessous :
\(\cos(\pi-\alpha)\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\) \(\sin\left(\pi-\alpha\right)\)

 

  • Déterminer le signes (positif ou négatif) de chacun des angles suivants, représentés dans la base \(b\left(\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z\right)\) :

Quiz : trigonométrie

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