Formulaire de mathématiques

Trigonométrie

Définition du radian

Longueur d’un arc

l=\alpha r

avec \alpha en radians !!

 

Cotés d’un triangle rectangle

On peut imaginer un cercle tel que :

  • le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \alpha,
  • et le rayon r corresponde à l’hypoténuse du triangle rectangle

Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de r et de \alpha :

On peut aussi montrer, à l’aide du théorème de Pythagore :

\cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1

 

Mais on peut aussi imaginer un cercle tel que :

  • le centre soit sur le sommet du triangle dont on étudie l’angle \alpha,
  • et le rayon r corresponde au coté adjacent du triangle rectangle

Ainsi, on peut facilement exprimer les deux autres cotés du triangle en fonction de r et de \alpha :

Par définition :

\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

 

Angles associés


Base et repère

Base orthonormée directe

Soit b\left(\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z\right) une base orthonormée de l’espace vectoriel E, c’est à dire telle que les 3 vecteurs \overrightarrow x,\overrightarrow y et \overrightarrow z sont :

  • unitaires : \|\overrightarrow x\|=\|\overrightarrow y\|=\|\overrightarrow z\|=1 ,
  • et orthogonaux deux à deux : \overrightarrow{x} \bot \overrightarrow{y} et \overrightarrow{y}\bot\overrightarrow{z} et \overrightarrow{z}\bot\overrightarrow{x}

La base b est dite directe si en plus \overrightarrow x,\overrightarrow y et \overrightarrow z obéissent à la « règle des 3 doigts » :

Vues en projection et vue en perspective isométrique :

Vue en 3D (faites tourner !) :

 

Repère

Un repère est l’association d’une base et d’un point « origine » : R\left(O, \overrightarrow x, \overrightarrow y, \overrightarrow z\right) ou R\left(O, b\right)

 


Vecteurs

Un scalaire, ou élément de l’ensemble des réels, ne porte qu’une seule information : température, longueur, pression…

Un vecteur porte un nombre d’informations égal à la dimension de l’espace vectoriel auquel il appartient, c’est à dire trois pour la mécanique traitée ici. Ceci justifie son nom : c’est un vecteur d’informations.

 

Soit E un espace vectoriel, soient 3 vecteurs \left(\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c\right) \in E^3, soient 2 scalaires réels \left(\alpha, \beta\right)\in \mathbb{R}.

Notations et vocabulaire

Soient O et M deux points de E.

Soient x_My_M et z_M les coordonnées de M dans le repère R\left(O, \overrightarrow x, \overrightarrow y, \overrightarrow z\right).

Le vecteur \overrightarrow{OM} peut être écrit comme la somme de ses composantes dans b\left(\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z\right) ou bien en utilisant ses coordonnées dans b :

\overrightarrow{OM}=x_M\overrightarrow x+y_M\overrightarrow y+z_M\overrightarrow z=\begin{pmatrix}x_M\\y_M\\z_M\end{pmatrix}_b

Vue 3D du vecteur position (faites tourner et déplacez le point M !) :

Addition vectorielle

  • symbole : +
  • élément neutre : \overrightarrow{0}
  • propriétés :
    • commutatif : \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}
    • associatif : \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)

Multiplication d’un vecteur par un scalaire

  • symbole : \times ou rien (pas de point !)
  • élément neutre : 1
  • propriétés :
    • k\overrightarrow{a} // \overrightarrow{a}
    • k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}
    • \left(k+m\right)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}

­

Produit scalaire

\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\|\overrightarrow{a}\|\times\|\overrightarrow{b}\|\times\cos\left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)

  • propriétés :
    • \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0
    • \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} (commutatif)
    • k\overrightarrow{a}\cdot m\overrightarrow{b}=km\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)

 

Produit vectoriel

­\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b} est normal au plan \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)

\|\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}\|=\|\overrightarrow{a}\|\times\|\overrightarrow{b}\|\times\sin\left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)

  • ­propriétés :
    • \overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}
    • \overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\wedge\overrightarrow{a}   (non commutatif)
    • k\overrightarrow{a}\wedge m\overrightarrow{b}=km\left(\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}\right)
    • \left(\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}\right)\wedge\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\wedge\left(\overrightarrow{b}\wedge\overrightarrow{c}\right)   (non associatif)

 

Vue 3D du produit vectoriel (faites tourner et déplacez les points !) :
­

Pour une base b\left(\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z\right) orthonormée directe, on a les relations :

  • \overrightarrow{x}\wedge\overrightarrow{y}=\overrightarrow{z}
  • \overrightarrow{y}\wedge\overrightarrow{z}=\overrightarrow{x}
  • \overrightarrow{z}\wedge\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}

 

Calculs en composantes cartésiennes

Soient 2 vecteurs \overrightarrow{A} et \overrightarrow{B}

Notons x_Ay_Az_A et x_By_Bz_B leurs coordonnées cartésiennes dans une base b\left(\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z\right).

On peut exprimer \overrightarrow{A} et \overrightarrow{B} de différentes manières :

  • par leurs composantes :
    • \overrightarrow{A}=x_A\overrightarrow{x}+y_A\overrightarrow{y}+z_A\overrightarrow{z}
    • \overrightarrow{B}=x_B\overrightarrow{x}+y_B\overrightarrow{y}+z_B\overrightarrow{z}
  • par leurs coordonnées :
    • \overrightarrow{A}=\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}_b
    • \overrightarrow{B}=\begin{pmatrix}x_B\\y_B\\z_B\end{pmatrix}_b

Remarque : pour écrire un vecteur « en colonne », il faut impérativement préciser la base dans laquelle ses coordonnées sont exprimées.

Produit scalaire :

\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}_b\cdot\begin{pmatrix}x_B\\y_B\\z_B\end{pmatrix}_b=x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B

Produit vectoriel :

\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B}=\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}_b\wedge\begin{pmatrix}x_B\\y_B\\z_B\end{pmatrix}_b=\begin{pmatrix}y_Az_B-z_Ay_B\\z_Ax_B-x_Az_B\\x_Ay_B-y_Ax_B\end{pmatrix}_b

Formule du double produit vectoriel

Soient 3 vecteurs \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B} et \overrightarrow{C}

\overrightarrow{A}\wedge\left(\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{C}\right)=\left(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C}\right)\overrightarrow{B}-\left(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}\right)\overrightarrow{C}

Produit mixte

Soient 3 vecteurs \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B} et \overrightarrow{C}

\overrightarrow{A}\cdot\left(\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{C}\right)=\overrightarrow{B}\cdot\left(\overrightarrow{C}\wedge\overrightarrow{A}\right)=\overrightarrow{C}\cdot\left(\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{B}\right)

(Il est inchangé par permutation circulaire des 3 vecteurs \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B} et \overrightarrow{C})

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