Cinématique du solide

\(\newcommand{\indiceGauche}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}#2}\)

Objet de la cinématique

La cinématique est l’étude des mouvements des solides sans tenir compte des causes qui les provoquent.

Les grandeurs étudiées sont des déplacements, des trajectoires, des vitesses.

Hypothèses

En cinématique, les solides et les liaisons sont supposés être parfaits :

  • Le solide parfait possède une masse constante et est indéformable :

La distance entre deux points quelconques du solide est invariante.

  • La liaison parfaite entre deux solides est supposée sans jeu :

Il n’y a pas d’autres mouvements relatifs que ceux autorisés par la liaison.

Notion de référentiel

Pour définir un mouvement, il est nécessaire de fixer une référence d’observation.

Un mouvement est toujours relatif : on parlera de mouvement d’un solide par rapport à un référentiel.

On appelle référentiel, et on note \(\mathfrak{R }\), l’association :

  • d’un repère géométrique \(\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})\),
  • d’un repère temporel \(T(t_0,1s)\).

En pratique on utilise souvent un solide comme référentiel, appelé alors solide de référence : c’est le solide sur lequel on place l’observateur.

 

Cinématique du point

Position d’un point

La position d’un point dans l’espace est définie par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\).

Soit \(\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})\) un repère lié à \(\mathfrak{R}\).

Pour définir la position d’un point \(M\) dans ce référentiel, on utilise :

  • soit les 3 coordonnées \(\color{blue}{x_M}\), \(\color{blue}{y_M}\) et \(\color{blue}{z_M}\), exprimées dans \(\mathcal{R}\).
  • soit le vecteur position \(\overrightarrow{OM}\) exprimé dans la base de \(\mathcal{R}\) :
\(\overrightarrow{OM}=\color{blue}{x_M}\vec{x}+\color{blue}{y_M}\vec{y}+\color{blue}{z_M}\vec{z}={\begin{bmatrix}\color{blue}{x_M} \\ \color{blue}{y_M} \\ \color{blue}{z_M} \end{bmatrix}}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

 

 

Trajectoire

La trajectoire d’un point \(M\) par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\), est l’ensemble des lieux occupés par \(M\) lorsque le temps \(t\) varie.

Cette trajectoire est souvent notée \(T(M/\mathfrak{R})\) ou \(T_{M/\mathfrak{R}}\)

Remarque : une trajectoire est une ligne (segment de droite, arc de cercle, …), ou un point si le point étudié est fixe.

 

 

Vitesse

Soit \(T(M/\mathfrak{R})\) la trajectoire d’un point \(M\) par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\).

Orientons cette trajectoire dans le sens du mouvement et définissons une unité de longueur ainsi qu’une origine \(M_0\).

Les différentes positions du point \(M\) sont repérées par leur abscisse curviligne \(s(t)\) :

 

\(s(t)=\widehat{M_0 M(t)}\)

Le vecteur vitesse du point \(M\) par rapport au référentiel \(\mathfrak{R}\) est défini par le vecteur :

\(\large{\overrightarrow{V_{M/\mathfrak{R}}}}\) :

  • direction : tangente à la trajectoire
  • sens : celui du mouvement
  • norme : \(\|\overrightarrow{V_{M/\mathfrak{R}}}\|=|\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}|\)

 

 

Cinématique du solide

Repérage d’un solide dans l’espace

Pour connaitre la position de tous les points d’un solide dans l’espace (et il y en a une infinité !), il suffit de connaitre la position d’un repère lié à ce solide.

Notons \(\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})\) le repère de référence,

et \(\mathcal{R_1}(O,\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1})\) le repère lié à un solide (1)
ou repère local du solide (1).

Remarque : les points du solide (1) occupent toujours la même position dans son repère local.

 

Exemple : dans le cas d’une liaison pivot, on peut définir \(\mathcal{R_1}\), le repère local du solide (1), en ne dessinant qu’un seul des vecteurs de sa base,  \(\vec{x_1}\), les deux autres pouvant être retrouvés facilement (voir article Bases et Repères)

Point liés

On appelle point lié à un solide, un point fixe dans le repère local de ce solide.

Pour point \(M\), lié à un solide (1), on notera : \(M\in 1\) (« point M appartenant à (1) »)

Par conséquent, on écrira :

  • \(T(M\in1/\mathcal{R})\): « trajectoire du point M appartenant à (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »

ou \(T(M,1/\mathcal{R})\) : « trajectoire du point M dans le mouvement de (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »

  • \(\overrightarrow{V_{M\in1/\mathcal{R}}}\) : « vitesse du point M appartenant à (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »

ou \(\overrightarrow{V_{M,1/\mathcal{R}}}\) : « vitesse du point M dans le mouvement de (1) par rapport à \(\mathcal{R}\) »

Attention : on ne parle jamais de « trajectoire ou de vitesse d’un solide », cela n’a aucun sens, car selon le mouvement de ce solide, ces points peuvent avoir des trajectoires et des vitesses différentes !

 

Paramétrage

La position du solide dans l’espace, est déterminée par 6 paramètres indépendants :

Position du point \(O_1\) dans \(\mathcal{R}\) 3 coordonnées : \(x(t)\), \(y(t)\) et \(z(t)\)
Orientation de la base \((\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1})\) par rapport à \((\vec{x},\vec{y},\vec{z})\) 3 angles : \(\theta(t)\), \(\gamma(t)\) et \(\delta(t)\)

Ces paramètres sont fonction du temps car la position relative des solides évolue au cours du temps.

Le nombre de paramètres nécessaires pour définir la position de deux solides en liaison est égal au nombre de degrés de liberté autorisés par leur liaison cinématique.

Exemple : 1 rotation + 1 translation → 1 paramètre de position angulaire + 1 paramètre de position linéaire.

 

 

Exemple : paramétrage entre deux solides en liaison

Liaison Degré(s) de liberté Paramètre(s) de position
L3-0 Tx \(x(t)=AC(t)\)
L1-0 Rz \(\delta(t)=\widehat{(\vec{x},\vec{x_1})}\)

 

 

Mouvements d’un solide

Tout comme la vitesse et la trajectoire, le mouvement est relatif à un référentiel : lorsque l’on veut décrire le mouvement d’un solide, il est fondamental de définir par rapport à quel solide ou repère de référence le mouvement a lieu.

On note « mouvement d’un solide (1) par rapport à un solide de référence (0) » : \(Mvt(1/0)\)

Attention : on ne parle jamais de « mouvement d’un point », cela n’a aucun sens !

Il existe deux mouvements élémentaires entre les solides :

  • Le mouvement de TRANSLATION (RECTILIGNE) (exemple : tiroir/meuble)
  • Le mouvement de ROTATION (exemple : porte/mur)

 

Torseur cinématique

Les deux composantes du mouvement d’un solide, rotation et translation,  peuvent être définis par :

deux vecteurs :

  • vecteur rotation : \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{\color{red}{\overrightarrow{\Omega_{1/0}}}}}\) , représente la composante de rotation

\(\|\color{red}{\overrightarrow{\Omega_{1/0}}}\|\) : vitesse angulaire du solide (1) [rad/s]

  • vecteur vitesse d’un point A : \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\large{
    \color{green}{\overrightarrow{V_{A\in{1/0}}}}
    }}\) , représente la composante de translation

\(\|\color{green}{\overrightarrow{V_{A\in{1/0}}}}\|\) : vitesse du point A du solide (1) [m/s]

ou encore un torseur cinématique :

  • \(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{
    \{ \mathcal{V}(1/0) \}
    =
    {\vphantom{\left\{
    \begin{array}{ccc}
    \\
    \\
    \\
    \end{array}
    \right\}}}_{\mbox{A}}
    \left\{ \begin{array}{c}
    \color{red}{\overrightarrow{\Omega_{1/0}}} \\
    \color{green}{\overrightarrow{V_{A\in{1/0}}}}
    \end{array} \right\}
    }}\)

 

Mouvement de translation

Définition : un solide est animé d’un mouvement de translation par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\) s’il possède deux segments non parallèles qui gardent la même direction au cours du mouvement.

 

Remarque : toutes les trajectoires des points liés à ce solide sont des lignes parallèles (droites ou pas !).

Cas particulier : translation rectiligne

Définition : Si la trajectoire d’un point d’un solide en translation par rapport à un référentiel \(\mathfrak{R}\) est un segment de droite , alors ce solide est en translation rectiligne.

Remarque : toutes les trajectoires des points liés à ce solide sont des segments de droites parallèles.

 

 

Rotation autour d’un axe fixe

Définition : Un solide est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe de \(\mathfrak{R}\) s’il possède 2 points qui restent fixes par rapport à \(\mathfrak{R}\) au cours du mouvement.

 

Ces 2 points définissent l’axe de rotation.

Remarque : toutes les trajectoires des points liés à ce solide sont des arcs de cercles de centres situés sur l’axe de rotation (concentriques dans le plan normal à l’axe).

 

Mouvements complexes

Ils sont obtenus par combinaisons de mouvements simples (rotation et translation). Pour étudier un mouvement complexe, on le décompose en mouvements simples et on « additionne » les différents résultats.

Exemple : Mouvement hélicoïdal (système vis-écrou) = 1 translation et 1 rotation conjuguées.

 

Liaisons, degrés de liberté et mouvements

Le mouvement relatif entre deux solides dépend de la liaison cinématique entre ces deux solides : la liaison autorise certains mouvements (et en interdit donc d’autres).

  • Un mouvement est absolu s’il est défini par rapport à un repère fixe.
  • Un mouvement est relatif s’il est décrit par rapport à un repère mobile.

Attention à ne pas confondre degrés de liberté, mobilité et mouvement. Une liaison peut autoriser des degrés de liberté entre deux solides sans que les mouvements correspondants aient effectivement lieu au sein du mécanisme complet.

Exemple : étude des mouvements autorisés par les liaisons d’un mécanisme

Liaison Degré(s) de liberté Mouvement(s) autorisé(s) par la liaison
L3-0 Glissière de direction \(\vec{x}\) Tx Translation de direction \(\vec{x}\)
L1-0 Pivot d’axe \((A,\vec{z})\) Rz Rotation autour de l’axe \((A,\vec{z})\)
L2-1 Sphérique de centre \(B\) Rx Ry Rz Toutes les rotations
L3-2 Pivot d’axe \((C,\vec{z})\) Rz Rotation autour de l’axe \((C,\vec{z})\)
L2-0 Aucune liaison Rx Ry Rz Tx Ty Tz Tous

 

 

Trajectoires des points d’un solide

Lorsqu’un système mécanique est animé, une étude géométrique des mouvements permet de déterminer les positions particulières occupées par les différents points des solides de ce mécanisme : c’est le tracé de trajectoire.

Ce tracé nécessite au préalable la connaissance des liaisons entre les différents solides afin de pouvoir décrire leurs mouvements relatifs.

Exemple : étude des trajectoires des points dans un mécanisme

Liaison Mouvement autorisé par la liaison Trajectoires
L3-0 Translation de direction \(\vec{x}\) \(T(C\in 3/0)\) : segment de droite de direction \(\vec{x}\)
L1-0 Rotation autour de l’axe \((A,\vec{z})\) \(T(B\in 1/0)\) : arc de cercle de centre \(A\)
L3-2 Rotation autour de l’axe \((C,\vec{z})\) \(T(B\in 2/3)\) : arc de cercle de centre \(C\)
\(T(C\in 2/3)\) : point \(C\)

 

 

Les mouvements plans

Définition

Un solide est animé d’un mouvement plan si tout point \(M\) de ce solide reste à une distance constante d’un plan fixe.

Rotation autour d’un axe fixe

Si un solide (1) est animé d’un mouvement de rotation par rapport (0) autour du point \(P\) alors :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{∀M\in (1): \|\overrightarrow{V_{M\in 1/0}}\|=\omega_{1/0}\cdot PM}}\)

avec :

  • \(\omega_{1/0}\) : vitesse de rotation [rad/s]
  • \(PM\) : « rayon » en mètre [m]
  • \(\|\overrightarrow{V_{M\in1/0}}\|\) : en mètre par seconde [m/s]

 

 

Translation (rectiligne, circulaire ou quelconque)

Si un solide (1) est animé d’un mouvement de translation par rapport à (0) alors :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{∀M, N\in (1): \overrightarrow{V_{M\in 1/0}}=\overrightarrow{V_{N\in 1/0}}}}\)

 

 

 

Centre (instantané) de rotation

Le centre instantané de rotation (C.I.R.) d’un solide (1) par rapport à un solide de référence (0) est le point situé à l’intersection des droites perpendiculaires aux vecteurs vitesse de 2 points distincts du solide (1).

On ne note souvent \(CIR_{1/0}\) ou \(I_{1/0}\).

 

Le C.I.R. est similaire au centre de rotation d’un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe, à la différence que sa position varie au cours du temps.

 

Conséquence :
Connaissant le C.I.R. d’un solide et la vitesse d’un point \(M\), on peut déterminer graphiquement la vitesse de tout point \(N\) de ce même solide par la construction ci-contre.

Théorème de l’équiprojectivité

Énoncé : soient deux points \(\color{red}{M}\) et\(\color{blue}{N}\) appartenant à un solide (1) ; leurs vecteurs vitesse dans le mouvement de (1) par rapport à (0) sont équiprojectifs sur l’axe \((\color{red}{M}\color{blue}{N})\) :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{V_{\color{red}{M}\in \color{green}{1/0}}}\cdot \overrightarrow{\color{red}{M}\color{blue}{N}}=\overrightarrow{V_{\color{blue}{N}\in \color{green}{1/0}}}\cdot \overrightarrow{\color{red}{M}\color{blue}{N}}}}\)

L’égalité de ces produits scalaires est équivalente à l’égalité des projections orthogonales des vecteurs vitesse sur le même axe \((\color{red}{M}\color{blue}{N})\).

 

 

Loi de composition des vitesses

Quels que soient le point \(B\) et deux solides (1) et (2) en mouvement par rapport à (0) :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}+\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}}}\)

La vitesse \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/0}}\) due à la rotation de la came autour de A peut se décomposer en :

  • \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}\) (appelée vitesse de glissement)
  • \(\overrightarrow{V_{\color{green}{B}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}\) (appelée vitesse d’entraînement)

 

Points coïncidents (cas d’une articulation)

Articulation = liaison assurant un guidage en rotation (pivot, pivot-glissant, rotule, sphère-cylindre)
Si (1) et (2) sont deux solides articulés au point \(M\).

Composition des vitesses : \(\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}+\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}\)

or \(\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/\color{blue}{2}}}=\overrightarrow{0}\) car \(M\) est sur l’axe de la rotation entre (1) et (2)

donc :

\(\bbox[10px,border:2px solid black]{\Large{\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{red}{1}/0}}=\overrightarrow{V_{\color{green}{M}\in \color{blue}{2}/\color{green}{0}}}}}\)

 

\(M\in 1\) et \(M\in 2\) sont des points constamment coïncidents.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *